Theorem s4f1o 12866

Description: A length 4 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4f1o

Proof of Theorem s4f1o

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oun2prg 12865	. . . . . 6
2	1	imp 429	. . . . 5
3	2	adantr 465	. . . 4
4		s4prop 12863	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 465	. . . . . . . 8
6	5	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
7	6	biimpa 484	. . . . . 6
8	7	eqcomd 2465	. . . . 5
9		eqidd 2458	. . . . 5
10		eqidd 2458	. . . . 5
11	8, 9, 10	f1oeq123d 5818	. . . 4
12	3, 11	mpbid 210	. . 3
13		dff1o5 5830	. . . . . . . 8
14	13	biimpi 194	. . . . . . 7
15		dff12 5785	. . . . . . . . 9
16	15	bicomi 202	. . . . . . . 8
17	16	anbi1i 695	. . . . . . 7
18	14, 17	sylibr 212	. . . . . 6
19		ffdm 5750	. . . . . . . . 9
20	19	simpld 459	. . . . . . . 8
21	20	anim1i 568	. . . . . . 7
22	21	anim1i 568	. . . . . 6
23	18, 22	syl 16	. . . . 5
24		dff12 5785	. . . . . 6
25	24	anbi1i 695	. . . . 5
26	23, 25	sylibr 212	. . . 4
27		dff1o5 5830	. . . 4
28	26, 27	sylibr 212	. . 3
29	12, 28	syl 16	. 2
30	29	exp31 604	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E*wmo 2283  =/=wne 2652  u.cun 3473  C_wss 3475  {cpr 4031  <.cop 4035   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  0cc0 9513  1c1 9514  2c2 10610  3c3 10611  <"cs4 12808

This theorem is referenced by:  usgraexmpl  24401  usgraexmpledg  24403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-s1 12545  df-s2 12813  df-s3 12814  df-s4 12815