Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd Unicode version

 Description: For sequences that correspond to valid integers, the adder sequence function produces the sequence for the sum. This is effectively a proof of the correctness of the ripple carry adder, implemented with logic gates corresponding to df-had 1447 and df-cad 1448. It is interesting to consider in what sense the function can be said to be "adding" things outside the range of the function, that is, when adding sequences that are not eventually constant and so do not denote any integer. The correct interpretation is that the sequences are representations of 2-adic integers, which have a natural ring structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsss 14076 . . . . . 6
2 bitsss 14076 . . . . . 6
3 sadcl 14112 . . . . . 6
41, 2, 3mp2an 672 . . . . 5
54sseli 3499 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 bitsss 14076 . . . . 5
87sseli 3499 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 eqid 2457 . . . . . . . . 9
11 eqid 2457 . . . . . . . . 9
12 simpll 753 . . . . . . . . 9
13 simplr 755 . . . . . . . . 9
14 simpr 461 . . . . . . . . . 10
15 1nn0 10836 . . . . . . . . . . 11
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10
1714, 16nn0addcld 10881 . . . . . . . . 9
1810, 11, 12, 13, 17sadaddlem 14116 . . . . . . . 8
1912, 13zaddcld 10998 . . . . . . . . 9
20 bitsmod 14086 . . . . . . . . 9
2119, 17, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8
2218, 21eqtrd 2498 . . . . . . 7
2322eleq2d 2527 . . . . . 6
24 elin 3686 . . . . . 6
25 elin 3686 . . . . . 6
2623, 24, 253bitr3g 287 . . . . 5
27 nn0uz 11144 . . . . . . . . 9
2814, 27syl6eleq 2555 . . . . . . . 8
29 eluzfz2 11723 . . . . . . . 8
3028, 29syl 16 . . . . . . 7
3114nn0zd 10992 . . . . . . . 8
32 fzval3 11885 . . . . . . . 8
3331, 32syl 16 . . . . . . 7
3430, 33eleqtrd 2547 . . . . . 6
3534biantrud 507 . . . . 5
3634biantrud 507 . . . . 5
3726, 35, 363bitr4d 285 . . . 4
3837ex 434 . . 3
396, 9, 38pm5.21ndd 354 . 2
4039eqrdv 2454 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  caddwcad 1446  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  e.cmpt 4510  'ccnv 5003  |cres 5006  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1o 7142   c2o 7143  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824   cmo 11996  seq`cseq 12107   cexp 12166   cbits 14069   csad 14070 This theorem is referenced by:  bitsres  14123  smumullem  14142 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101
 Copyright terms: Public domain W3C validator