MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem Unicode version

Theorem sadadd2lem 14109
Description: Lemma for sadadd2 14110. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a
sadval.b
sadval.c
sadcp1.n
sadcadd.k
sadadd2lem.1
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,N

Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3717 . . . . . . . . 9
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11
52, 3, 4sadfval 14102 . . . . . . . . . 10
6 ssrab2 3584 . . . . . . . . . 10
75, 6syl6eqss 3553 . . . . . . . . 9
81, 7syl5ss 3514 . . . . . . . 8
9 fzofi 12084 . . . . . . . . . 10
109a1i 11 . . . . . . . . 9
11 inss2 3718 . . . . . . . . 9
12 ssfi 7760 . . . . . . . . 9
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . 8
14 elfpw 7842 . . . . . . . 8
158, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . 7
16 bitsf1o 14095 . . . . . . . . . 10
17 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . 10
18 f1of 5821 . . . . . . . . . 10
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10
2120feq1i 5728 . . . . . . . . 9
2219, 21mpbir 209 . . . . . . . 8
2322ffvelrni 6030 . . . . . . 7
2415, 23syl 16 . . . . . 6
2524nn0cnd 10879 . . . . 5
26 2nn0 10837 . . . . . . . . . 10
2726a1i 11 . . . . . . . . 9
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9
2927, 28nn0expcld 12332 . . . . . . . 8
30 0nn0 10835 . . . . . . . 8
31 ifcl 3983 . . . . . . . 8
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . 7
3332nn0cnd 10879 . . . . . 6
34 1nn0 10836 . . . . . . . . . . 11
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10
3628, 35nn0addcld 10881 . . . . . . . . 9
3727, 36nn0expcld 12332 . . . . . . . 8
38 ifcl 3983 . . . . . . . 8
3937, 30, 38sylancl 662 . . . . . . 7
4039nn0cnd 10879 . . . . . 6
4133, 40addcld 9636 . . . . 5
4225, 41addcld 9636 . . . 4
43 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
4443, 2syl5ss 3514 . . . . . . . . 9
45 inss2 3718 . . . . . . . . . 10
46 ssfi 7760 . . . . . . . . . 10
4710, 45, 46sylancl 662 . . . . . . . . 9
48 elfpw 7842 . . . . . . . . 9
4944, 47, 48sylanbrc 664 . . . . . . . 8
5022ffvelrni 6030 . . . . . . . 8
5149, 50syl 16 . . . . . . 7
5251nn0cnd 10879 . . . . . 6
53 inss1 3717 . . . . . . . . . 10
5453, 3syl5ss 3514 . . . . . . . . 9
55 inss2 3718 . . . . . . . . . 10
56 ssfi 7760 . . . . . . . . . 10
5710, 55, 56sylancl 662 . . . . . . . . 9
58 elfpw 7842 . . . . . . . . 9
5954, 57, 58sylanbrc 664 . . . . . . . 8
6022ffvelrni 6030 . . . . . . . 8
6159, 60syl 16 . . . . . . 7
6261nn0cnd 10879 . . . . . 6
6352, 62addcld 9636 . . . . 5
64 ifcl 3983 . . . . . . . 8
6529, 30, 64sylancl 662 . . . . . . 7
6665nn0cnd 10879 . . . . . 6
67 ifcl 3983 . . . . . . . 8
6829, 30, 67sylancl 662 . . . . . . 7
6968nn0cnd 10879 . . . . . 6
7066, 69addcld 9636 . . . . 5
7163, 70addcld 9636 . . . 4
7229nn0cnd 10879 . . . . . 6
7372adantr 465 . . . . 5
74 0cnd 9610 . . . . 5
7573, 74ifclda 3973 . . . 4
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6
772, 3, 4, 28sadval 14106 . . . . . . . . 9
7877ifbid 3963 . . . . . . . 8
792, 3, 4, 28sadcp1 14105 . . . . . . . . 9
8027nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . 11
8180, 28expp1d 12311 . . . . . . . . . 10
8272, 80mulcomd 9638 . . . . . . . . . 10
8381, 82eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
8479, 83ifbieq1d 3964 . . . . . . . 8
8578, 84oveq12d 6314 . . . . . . 7
86 sadadd2lem2 14100 . . . . . . . 8
8772, 86syl 16 . . . . . . 7
8885, 87eqtrd 2498 . . . . . 6
8976, 88oveq12d 6314 . . . . 5
9025, 41, 75add32d 9825 . . . . 5
9163, 70, 75addassd 9639 . . . . 5
9289, 90, 913eqtr4d 2508 . . . 4
9342, 71, 75, 92addcan2ad 9807 . . 3
9425, 33, 40addassd 9639 . . 3
9552, 66, 62, 69add4d 9826 . . 3
9693, 94, 953eqtr4d 2508 . 2
9720bitsinvp1 14099 . . . 4
987, 28, 97syl2anc 661 . . 3
9998oveq1d 6311 . 2
10020bitsinvp1 14099 . . . 4
1012, 28, 100syl2anc 661 . . 3
10220bitsinvp1 14099 . . . 4
1033, 28, 102syl2anc 661 . . 3
104101, 103oveq12d 6314 . 2
10596, 99, 1043eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  haddwhad 1445  caddwcad 1446  e.wcel 1818  {crab 2811  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1o 7142   c2o 7143   cfn 7536   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  2c2 10610   cn0 10820   cfzo 11824  seqcseq 12107   cexp 12166   cbits 14069   csad 14070
This theorem is referenced by:  sadadd2  14110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101
  Copyright terms: Public domain W3C validator