MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadaddlem Unicode version

Theorem sadaddlem 14116
Description: Lemma for sadadd 14117. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadaddlem.c
sadaddlem.k
sadaddlem.1
sadaddlem.2
sadaddlem.3
Assertion
Ref Expression
sadaddlem
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,N

Proof of Theorem sadaddlem
StepHypRef Expression
1 sadaddlem.k . . . . . . . . . . . . 13
21fveq1i 5872 . . . . . . . . . . . 12
3 sadaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 2nn 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 sadaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75, 6nnexpcld 12331 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83, 7zmodcld 12016 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
11 bitsmod 14086 . . . . . . . . . . . . . . 15
123, 6, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
1310, 12eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
14 bitsf1o 14095 . . . . . . . . . . . . . 14
15 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 8, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 16mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
182, 17syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
1918oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
2019oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
213zred 10994 . . . . . . . . . 10
227nnrpd 11284 . . . . . . . . . 10
23 moddifz 12008 . . . . . . . . . 10
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2520, 24eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
267nnzd 10993 . . . . . . . . 9
277nnne0d 10605 . . . . . . . . 9
28 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . 14
29 bitsss 14076 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29sstri 3512 . . . . . . . . . . . . 13
31 fzofi 12084 . . . . . . . . . . . . . 14
32 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . 14
33 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . 14
3431, 32, 33mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
35 elfpw 7842 . . . . . . . . . . . . 13
3630, 34, 35mpbir2an 920 . . . . . . . . . . . 12
37 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . 15
3914, 37, 38mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14
401feq1i 5728 . . . . . . . . . . . . . 14
4139, 40mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13
4241ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . 12
4336, 42mp1i 12 . . . . . . . . . . 11
4443nn0zd 10992 . . . . . . . . . 10
453, 44zsubcld 10999 . . . . . . . . 9
46 dvdsval2 13989 . . . . . . . . 9
4726, 27, 45, 46syl3anc 1228 . . . . . . . 8
4825, 47mpbird 232 . . . . . . 7
491fveq1i 5872 . . . . . . . . . . . 12
50 sadaddlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150, 7zmodcld 12016 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
54 bitsmod 14086 . . . . . . . . . . . . . . 15
5550, 6, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
5653, 55eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
57 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . . . . . . . 14
5814, 51, 57sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
5956, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
6049, 59syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
6160oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
6261oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
6350zred 10994 . . . . . . . . . 10
64 moddifz 12008 . . . . . . . . . 10
6563, 22, 64syl2anc 661 . . . . . . . . 9
6662, 65eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
67 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . 14
68 bitsss 14076 . . . . . . . . . . . . . 14
6967, 68sstri 3512 . . . . . . . . . . . . 13
70 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . 14
71 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . 14
7231, 70, 71mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
73 elfpw 7842 . . . . . . . . . . . . 13
7469, 72, 73mpbir2an 920 . . . . . . . . . . . 12
7541ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . 12
7674, 75mp1i 12 . . . . . . . . . . 11
7776nn0zd 10992 . . . . . . . . . 10
7850, 77zsubcld 10999 . . . . . . . . 9
79 dvdsval2 13989 . . . . . . . . 9
8026, 27, 78, 79syl3anc 1228 . . . . . . . 8
8166, 80mpbird 232 . . . . . . 7
82 dvds2add 14015 . . . . . . . 8
8326, 45, 78, 82syl3anc 1228 . . . . . . 7
8448, 81, 83mp2and 679 . . . . . 6
853zcnd 10995 . . . . . . 7
8650zcnd 10995 . . . . . . 7
8743nn0cnd 10879 . . . . . . 7
8876nn0cnd 10879 . . . . . . 7
8985, 86, 87, 88addsub4d 10001 . . . . . 6
9084, 89breqtrrd 4478 . . . . 5
913, 50zaddcld 10998 . . . . . 6
9244, 77zaddcld 10998 . . . . . 6
93 moddvds 13993 . . . . . 6
947, 91, 92, 93syl3anc 1228 . . . . 5
9590, 94mpbird 232 . . . 4
9629a1i 11 . . . . 5
9768a1i 11 . . . . 5
98 sadaddlem.c . . . . 5
9996, 97, 98, 6, 1sadadd3 14111 . . . 4
100 inss1 3717 . . . . . . . . 9
101 sadcl 14112 . . . . . . . . . 10
10229, 68, 101mp2an 672 . . . . . . . . 9
103100, 102sstri 3512 . . . . . . . 8
104 inss2 3718 . . . . . . . . 9
105 ssfi 7760 . . . . . . . . 9
10631, 104, 105mp2an 672 . . . . . . . 8
107 elfpw 7842 . . . . . . . 8
108103, 106, 107mpbir2an 920 . . . . . . 7
10941ffvelrni 6030 . . . . . . 7
110108, 109mp1i 12 . . . . . 6
111110nn0red 10878 . . . . 5
112110nn0ge0d 10880 . . . . 5
1131fveq1i 5872 . . . . . . . . . 10
114113fveq2i 5874 . . . . . . . . 9
115 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
116110, 115syl 16 . . . . . . . . 9
117108a1i 11 . . . . . . . . . 10
118 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . 10
11914, 117, 118sylancr 663 . . . . . . . . 9
120114, 116, 1193eqtr3a 2522 . . . . . . . 8
121120, 104syl6eqss 3553 . . . . . . 7
122110nn0zd 10992 . . . . . . . 8
123 bitsfzo 14085 . . . . . . . 8
124122, 6, 123syl2anc 661 . . . . . . 7
125121, 124mpbird 232 . . . . . 6
126 elfzolt2 11837 . . . . . 6
127125, 126syl 16 . . . . 5
128 modid 12020 . . . . 5
129111, 22, 112, 127, 128syl22anc 1229 . . . 4
13095, 99, 1293eqtr2d 2504 . . 3
131130fveq2d 5875 . 2
132131, 120eqtr2d 2499 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  caddwcad 1446  e.wcel 1818  =/=wne 2652  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1o 7142   c2o 7143   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cfzo 11824   cmo 11996  seqcseq 12107   cexp 12166   cdvds 13986   cbits 14069   csad 14070
This theorem is referenced by:  sadadd  14117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101
  Copyright terms: Public domain W3C validator