Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcp1 Unicode version

 Description: The carry sequence (which is a sequence of wffs, encoded as and ) is defined recursively as the carry operation applied to the previous carry and the two current inputs. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,N

Proof of Theorem sadcp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . . . . . . 7
2 nn0uz 11144 . . . . . . 7
31, 2syl6eleq 2555 . . . . . 6
4 seqp1 12122 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 sadval.c . . . . . 6
76fveq1i 5872 . . . . 5
86fveq1i 5872 . . . . . 6
98oveq1i 6306 . . . . 5
105, 7, 93eqtr4g 2523 . . . 4
11 peano2nn0 10861 . . . . . . 7
12 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9
13 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
1412, 13ifbieq2d 3966 . . . . . . . 8
15 eqid 2457 . . . . . . . 8
16 0ex 4582 . . . . . . . . 9
17 ovex 6324 . . . . . . . . 9
1816, 17ifex 4010 . . . . . . . 8
1914, 15, 18fvmpt 5956 . . . . . . 7
201, 11, 193syl 20 . . . . . 6
21 nn0p1nn 10860 . . . . . . . . 9
221, 21syl 16 . . . . . . . 8
2322nnne0d 10605 . . . . . . 7
24 ifnefalse 3953 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
261nn0cnd 10879 . . . . . . 7
27 1cnd 9633 . . . . . . 7
2826, 27pncand 9955 . . . . . 6
2920, 25, 283eqtrd 2502 . . . . 5
3029oveq2d 6312 . . . 4
31 sadval.a . . . . . . 7
32 sadval.b . . . . . . 7
3331, 32, 6sadcf 14103 . . . . . 6
3433, 1ffvelrnd 6032 . . . . 5
35 simpr 461 . . . . . . . . 9
3635eleq1d 2526 . . . . . . . 8
3735eleq1d 2526 . . . . . . . 8
38 simpl 457 . . . . . . . . 9
3938eleq2d 2527 . . . . . . . 8
4036, 37, 39cadbi123d 1450 . . . . . . 7
4140ifbid 3963 . . . . . 6
42 biidd 237 . . . . . . . . 9
43 biidd 237 . . . . . . . . 9
44 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
4542, 43, 44cadbi123d 1450 . . . . . . . 8
4645ifbid 3963 . . . . . . 7
47 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
48 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
49 biidd 237 . . . . . . . . 9
5047, 48, 49cadbi123d 1450 . . . . . . . 8
5150ifbid 3963 . . . . . . 7
5246, 51cbvmpt2v 6377 . . . . . 6
53 1on 7156 . . . . . . . 8
5453elexi 3119 . . . . . . 7
5554, 16ifex 4010 . . . . . 6
5641, 52, 55ovmpt2a 6433 . . . . 5
5734, 1, 56syl2anc 661 . . . 4
5810, 30, 573eqtrd 2502 . . 3
5958eleq2d 2527 . 2
60 noel 3788 . . . . 5
61 iffalse 3950 . . . . . 6
6261eleq2d 2527 . . . . 5
6360, 62mtbiri 303 . . . 4
6463con4i 130 . . 3
65 0lt1o 7173 . . . 4
66 iftrue 3947 . . . 4
6765, 66syl5eleqr 2552 . . 3
6864, 67impbii 188 . 2
6959, 68syl6bb 261 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  caddwcad 1446  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  e.cmpt 4510   con0 4883  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1o 7142   c2o 7143  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cuz 11110  seq`cseq 12107 This theorem is referenced by:  sadcaddlem  14107  sadadd2lem  14109  saddisjlem  14114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
 Copyright terms: Public domain W3C validator