Theorem sadeq 14122

Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadeq.a
sadeq.b
sadeq.n

Assertion

Ref	Expression
sadeq

Proof of Theorem sadeq

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 3707	. . . . . . . 8
2		inidm 3706	. . . . . . . . 9
3	2	ineq2i 3696	. . . . . . . 8
4	1, 3	eqtri 2486	. . . . . . 7
5	4	fveq2i 5874	. . . . . 6
6		inass 3707	. . . . . . . 8
7	2	ineq2i 3696	. . . . . . . 8
8	6, 7	eqtri 2486	. . . . . . 7
9	8	fveq2i 5874	. . . . . 6
10	5, 9	oveq12i 6308	. . . . 5
11	10	oveq1i 6306	. . . 4
12		inss1 3717	. . . . . 6
13		sadeq.a	. . . . . 6
14	12, 13	syl5ss 3514	. . . . 5
15		inss1 3717	. . . . . 6
16		sadeq.b	. . . . . 6
17	15, 16	syl5ss 3514	. . . . 5
18		eqid 2457	. . . . 5
19		sadeq.n	. . . . 5
20		eqid 2457	. . . . 5
21	14, 17, 18, 19, 20	sadadd3 14111	. . . 4
22		eqid 2457	. . . . 5
23	13, 16, 22, 19, 20	sadadd3 14111	. . . 4
24	11, 21, 23	3eqtr4a 2524	. . 3
25		inss1 3717	. . . . . . . 8
26		sadcl 14112	. . . . . . . . 9
27	14, 17, 26	syl2anc 661	. . . . . . . 8
28	25, 27	syl5ss 3514	. . . . . . 7
29		fzofi 12084	. . . . . . . . 9
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8
31		inss2 3718	. . . . . . . 8
32		ssfi 7760	. . . . . . . 8
33	30, 31, 32	sylancl 662	. . . . . . 7
34		elfpw 7842	. . . . . . 7
35	28, 33, 34	sylanbrc 664	. . . . . 6
36		bitsf1o 14095	. . . . . . . 8
37		f1ocnv 5833	. . . . . . . 8
38		f1of 5821	. . . . . . . 8
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7
40	39	ffvelrni 6030	. . . . . 6
41	35, 40	syl 16	. . . . 5
42	41	nn0red 10878	. . . 4
43		2rp 11254	. . . . . 6
44	43	a1i 11	. . . . 5
45	19	nn0zd 10992	. . . . 5
46	44, 45	rpexpcld 12333	. . . 4
47	41	nn0ge0d 10880	. . . 4
48		fvres 5885	. . . . . . . . 9
49	41, 48	syl 16	. . . . . . . 8
50		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . 9
51	36, 35, 50	sylancr 663	. . . . . . . 8
52	49, 51	eqtr3d 2500	. . . . . . 7
53	52, 31	syl6eqss 3553	. . . . . 6
54	41	nn0zd 10992	. . . . . . 7
55		bitsfzo 14085	. . . . . . 7
56	54, 19, 55	syl2anc 661	. . . . . 6
57	53, 56	mpbird 232	. . . . 5
58		elfzolt2 11837	. . . . 5
59	57, 58	syl 16	. . . 4
60		modid 12020	. . . 4
61	42, 46, 47, 59, 60	syl22anc 1229	. . 3
62		inss1 3717	. . . . . . . 8
63		sadcl 14112	. . . . . . . . 9
64	13, 16, 63	syl2anc 661	. . . . . . . 8
65	62, 64	syl5ss 3514	. . . . . . 7
66		inss2 3718	. . . . . . . 8
67		ssfi 7760	. . . . . . . 8
68	30, 66, 67	sylancl 662	. . . . . . 7
69		elfpw 7842	. . . . . . 7
70	65, 68, 69	sylanbrc 664	. . . . . 6
71	39	ffvelrni 6030	. . . . . 6
72	70, 71	syl 16	. . . . 5
73	72	nn0red 10878	. . . 4
74	72	nn0ge0d 10880	. . . 4
75		fvres 5885	. . . . . . . . 9
76	72, 75	syl 16	. . . . . . . 8
77		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . 9
78	36, 70, 77	sylancr 663	. . . . . . . 8
79	76, 78	eqtr3d 2500	. . . . . . 7
80	79, 66	syl6eqss 3553	. . . . . 6
81	72	nn0zd 10992	. . . . . . 7
82		bitsfzo 14085	. . . . . . 7
83	81, 19, 82	syl2anc 661	. . . . . 6
84	80, 83	mpbird 232	. . . . 5
85		elfzolt2 11837	. . . . 5
86	84, 85	syl 16	. . . 4
87		modid 12020	. . . 4
88	73, 46, 74, 86, 87	syl22anc 1229	. . 3
89	24, 61, 88	3eqtr3rd 2507	. 2
90		f1of1 5820	. . . . 5
91	36, 37, 90	mp2b 10	. . . 4
92		f1fveq 6170	. . . 4
93	91, 92	mpan 670	. . 3
94	70, 35, 93	syl2anc 661	. 2
95	89, 94	mpbid 210	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  caddwcad 1446  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  c1o 7142  c2o 7143  cfn 7536  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  crp 11249  cfzo 11824  cmo 11996  seqcseq 12107  cexp 12166  cbits 14069  csad 14070

This theorem is referenced by:  smuval2  14132  smueqlem  14140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101