MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadeq Unicode version

Theorem sadeq 14122
Description: Any element of a sequence sum only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadeq.a
sadeq.b
sadeq.n
Assertion
Ref Expression
sadeq

Proof of Theorem sadeq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3707 . . . . . . . 8
2 inidm 3706 . . . . . . . . 9
32ineq2i 3696 . . . . . . . 8
41, 3eqtri 2486 . . . . . . 7
54fveq2i 5874 . . . . . 6
6 inass 3707 . . . . . . . 8
72ineq2i 3696 . . . . . . . 8
86, 7eqtri 2486 . . . . . . 7
98fveq2i 5874 . . . . . 6
105, 9oveq12i 6308 . . . . 5
1110oveq1i 6306 . . . 4
12 inss1 3717 . . . . . 6
13 sadeq.a . . . . . 6
1412, 13syl5ss 3514 . . . . 5
15 inss1 3717 . . . . . 6
16 sadeq.b . . . . . 6
1715, 16syl5ss 3514 . . . . 5
18 eqid 2457 . . . . 5
19 sadeq.n . . . . 5
20 eqid 2457 . . . . 5
2114, 17, 18, 19, 20sadadd3 14111 . . . 4
22 eqid 2457 . . . . 5
2313, 16, 22, 19, 20sadadd3 14111 . . . 4
2411, 21, 233eqtr4a 2524 . . 3
25 inss1 3717 . . . . . . . 8
26 sadcl 14112 . . . . . . . . 9
2714, 17, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8
2825, 27syl5ss 3514 . . . . . . 7
29 fzofi 12084 . . . . . . . . 9
3029a1i 11 . . . . . . . 8
31 inss2 3718 . . . . . . . 8
32 ssfi 7760 . . . . . . . 8
3330, 31, 32sylancl 662 . . . . . . 7
34 elfpw 7842 . . . . . . 7
3528, 33, 34sylanbrc 664 . . . . . 6
36 bitsf1o 14095 . . . . . . . 8
37 f1ocnv 5833 . . . . . . . 8
38 f1of 5821 . . . . . . . 8
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7
4039ffvelrni 6030 . . . . . 6
4135, 40syl 16 . . . . 5
4241nn0red 10878 . . . 4
43 2rp 11254 . . . . . 6
4443a1i 11 . . . . 5
4519nn0zd 10992 . . . . 5
4644, 45rpexpcld 12333 . . . 4
4741nn0ge0d 10880 . . . 4
48 fvres 5885 . . . . . . . . 9
4941, 48syl 16 . . . . . . . 8
50 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . 9
5136, 35, 50sylancr 663 . . . . . . . 8
5249, 51eqtr3d 2500 . . . . . . 7
5352, 31syl6eqss 3553 . . . . . 6
5441nn0zd 10992 . . . . . . 7
55 bitsfzo 14085 . . . . . . 7
5654, 19, 55syl2anc 661 . . . . . 6
5753, 56mpbird 232 . . . . 5
58 elfzolt2 11837 . . . . 5
5957, 58syl 16 . . . 4
60 modid 12020 . . . 4
6142, 46, 47, 59, 60syl22anc 1229 . . 3
62 inss1 3717 . . . . . . . 8
63 sadcl 14112 . . . . . . . . 9
6413, 16, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8
6562, 64syl5ss 3514 . . . . . . 7
66 inss2 3718 . . . . . . . 8
67 ssfi 7760 . . . . . . . 8
6830, 66, 67sylancl 662 . . . . . . 7
69 elfpw 7842 . . . . . . 7
7065, 68, 69sylanbrc 664 . . . . . 6
7139ffvelrni 6030 . . . . . 6
7270, 71syl 16 . . . . 5
7372nn0red 10878 . . . 4
7472nn0ge0d 10880 . . . 4
75 fvres 5885 . . . . . . . . 9
7672, 75syl 16 . . . . . . . 8
77 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . 9
7836, 70, 77sylancr 663 . . . . . . . 8
7976, 78eqtr3d 2500 . . . . . . 7
8079, 66syl6eqss 3553 . . . . . 6
8172nn0zd 10992 . . . . . . 7
82 bitsfzo 14085 . . . . . . 7
8381, 19, 82syl2anc 661 . . . . . 6
8480, 83mpbird 232 . . . . 5
85 elfzolt2 11837 . . . . 5
8684, 85syl 16 . . . 4
87 modid 12020 . . . 4
8873, 46, 74, 86, 87syl22anc 1229 . . 3
8924, 61, 883eqtr3rd 2507 . 2
90 f1of1 5820 . . . . 5
9136, 37, 90mp2b 10 . . . 4
92 f1fveq 6170 . . . 4
9391, 92mpan 670 . . 3
9470, 35, 93syl2anc 661 . 2
9589, 94mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  caddwcad 1446  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1o 7142   c2o 7143   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cfzo 11824   cmo 11996  seqcseq 12107   cexp 12166   cbits 14069   csad 14070
This theorem is referenced by:  smuval2  14132  smueqlem  14140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101
  Copyright terms: Public domain W3C validator