Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadfval Unicode version

Theorem sadfval 14102
 Description: Define the addition of two bit sequences, using df-had 1447 and df-cad 1448 bit operations. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a
sadval.b
sadval.c
Assertion
Ref Expression
sadfval
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,

Proof of Theorem sadfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadval.a . . 3
2 nn0ex 10826 . . . 4
32elpw2 4616 . . 3
41, 3sylibr 212 . 2
5 sadval.b . . 3
62elpw2 4616 . . 3
75, 6sylibr 212 . 2
8 simpl 457 . . . . . 6
98eleq2d 2527 . . . . 5
10 simpr 461 . . . . . 6
1110eleq2d 2527 . . . . 5
12 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . 13
1312eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
14 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . 13
1514eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
16 biidd 237 . . . . . . . . . . . 12
1713, 15, 16cadbi123d 1450 . . . . . . . . . . 11
1817ifbid 3963 . . . . . . . . . 10
1918mpt2eq3dva 6361 . . . . . . . . 9
2019seqeq2d 12114 . . . . . . . 8
21 sadval.c . . . . . . . 8
2220, 21syl6eqr 2516 . . . . . . 7
2322fveq1d 5873 . . . . . 6
2423eleq2d 2527 . . . . 5
259, 11, 24hadbi123d 1449 . . . 4
2625rabbidv 3101 . . 3
27 df-sad 14101 . . 3
282rabex 4603 . . 3
2926, 27, 28ovmpt2a 6433 . 2
304, 7, 29syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  haddwhad 1445  caddwcad 1446  e.wcel 1818  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1o 7142   c2o 7143  0cc0 9513  1c1 9514   cmin 9828   cn0 10820  seq`cseq 12107   csad 14070 This theorem is referenced by:  sadval  14106  sadadd2lem  14109  sadadd3  14111  sadcl  14112  sadcom  14113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562  df-n0 10821  df-seq 12108  df-sad 14101
 Copyright terms: Public domain W3C validator