MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scott0 Unicode version

Theorem scott0 8325
Description: Scott's trick collects all sets that have a certain property and are of the smallest possible rank. This theorem shows that the resulting collection, expressed as in Equation 9.3 of [Jech] p. 72, contains at least one representative with the property, if there is one. In other words, the collection is empty iff no set has the property (i.e. is empty). (Contributed by NM, 15-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
scott0
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem scott0
StepHypRef Expression
1 rabeq 3103 . . 3
2 rab0 3806 . . 3
31, 2syl6eq 2514 . 2
4 n0 3794 . . . . . . . 8
5 nfre1 2918 . . . . . . . . 9
6 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
7 rspe 2915 . . . . . . . . . 10
86, 7mpan2 671 . . . . . . . . 9
95, 8exlimi 1912 . . . . . . . 8
104, 9sylbi 195 . . . . . . 7
11 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
12 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12
1312anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11
1411, 13spcev 3201 . . . . . . . . . 10
1514eximi 1656 . . . . . . . . 9
16 excom 1849 . . . . . . . . 9
1715, 16sylibr 212 . . . . . . . 8
18 df-rex 2813 . . . . . . . 8
19 df-rex 2813 . . . . . . . . 9
2019exbii 1667 . . . . . . . 8
2117, 18, 203imtr4i 266 . . . . . . 7
2210, 21syl 16 . . . . . 6
23 abn0 3804 . . . . . 6
2422, 23sylibr 212 . . . . 5
2511dfiin2 4365 . . . . . 6
26 rankon 8234 . . . . . . . . . 10
27 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
2826, 27mpbiri 233 . . . . . . . . 9
2928rexlimivw 2946 . . . . . . . 8
3029abssi 3574 . . . . . . 7
31 onint 6630 . . . . . . 7
3230, 31mpan 670 . . . . . 6
3325, 32syl5eqel 2549 . . . . 5
34 nfii1 4361 . . . . . . . . 9
3534nfeq2 2636 . . . . . . . 8
36 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
3735, 36rexbid 2967 . . . . . . 7
3837elabg 3247 . . . . . 6
3938ibi 241 . . . . 5
40 ssid 3522 . . . . . . . . . 10
41 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
4241sseq1d 3530 . . . . . . . . . . 11
4342rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
4440, 43mpan2 671 . . . . . . . . 9
45 iinss 4381 . . . . . . . . 9
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8
47 sseq1 3524 . . . . . . . 8
4846, 47syl5ib 219 . . . . . . 7
4948ralrimiv 2869 . . . . . 6
5049reximi 2925 . . . . 5
5124, 33, 39, 504syl 21 . . . 4
52 rabn0 3805 . . . 4
5351, 52sylibr 212 . . 3
5453necon4i 2701 . 2
553, 54impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286  |^|_ciin 4331   con0 4883  `cfv 5593   crnk 8202
This theorem is referenced by:  scott0s  8327  cplem1  8328  karden  8334  scott0f  30577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
  Copyright terms: Public domain W3C validator