Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scottex Unicode version

Theorem scottex 8324
 Description: Scott's trick collects all sets that have a certain property and are of the smallest possible rank. This theorem shows that the resulting collection, expressed as in Equation 9.3 of [Jech] p. 72, is a set. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
scottex
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem scottex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4582 . . . 4
2 eleq1 2529 . . . 4
31, 2mpbiri 233 . . 3
4 rabexg 4602 . . 3
53, 4syl 16 . 2
6 neq0 3795 . . 3
7 nfra1 2838 . . . . . 6
8 nfcv 2619 . . . . . 6
97, 8nfrab 3039 . . . . 5
109nfel1 2635 . . . 4
11 rsp 2823 . . . . . . . 8
1211com12 31 . . . . . . 7
1312ralrimivw 2872 . . . . . 6
14 ss2rab 3575 . . . . . 6
1513, 14sylibr 212 . . . . 5
16 rankon 8234 . . . . . . . 8
17 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
1817sseq1d 3530 . . . . . . . . . . 11
1918elrab 3257 . . . . . . . . . 10
2019simprbi 464 . . . . . . . . 9
2120rgen 2817 . . . . . . . 8
22 sseq2 3525 . . . . . . . . . 10
2322ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
2423rspcev 3210 . . . . . . . 8
2516, 21, 24mp2an 672 . . . . . . 7
26 bndrank 8280 . . . . . . 7
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6
2827ssex 4596 . . . . 5
2915, 28syl 16 . . . 4
3010, 29exlimi 1912 . . 3
316, 30sylbi 195 . 2
325, 31pm2.61i 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   con0 4883  `cfv 5593   crnk 8202 This theorem is referenced by:  scottexs  8326  cplem2  8329  kardex  8333  scottexf  30576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204
 Copyright terms: Public domain W3C validator