Theorem scottex 8324

Description: Scott's trick collects all sets that have a certain property and are of the smallest possible rank. This theorem shows that the resulting collection, expressed as in Equation 9.3 of [Jech] p. 72, is a set. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
scottex

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem scottex

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4582	. . . 4
2		eleq1 2529	. . . 4
3	1, 2	mpbiri 233	. . 3
4		rabexg 4602	. . 3
5	3, 4	syl 16	. 2
6		neq0 3795	. . 3
7		nfra1 2838	. . . . . 6
8		nfcv 2619	. . . . . 6
9	7, 8	nfrab 3039	. . . . 5
10	9	nfel1 2635	. . . 4
11		rsp 2823	. . . . . . . 8
12	11	com12 31	. . . . . . 7
13	12	ralrimivw 2872	. . . . . 6
14		ss2rab 3575	. . . . . 6
15	13, 14	sylibr 212	. . . . 5
16		rankon 8234	. . . . . . . 8
17		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
18	17	sseq1d 3530	. . . . . . . . . . 11
19	18	elrab 3257	. . . . . . . . . 10
20	19	simprbi 464	. . . . . . . . 9
21	20	rgen 2817	. . . . . . . 8
22		sseq2 3525	. . . . . . . . . 10
23	22	ralbidv 2896	. . . . . . . . 9
24	23	rspcev 3210	. . . . . . . 8
25	16, 21, 24	mp2an 672	. . . . . . 7
26		bndrank 8280	. . . . . . 7
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6
28	27	ssex 4596	. . . . 5
29	15, 28	syl 16	. . . 4
30	10, 29	exlimi 1912	. . 3
31	6, 30	sylbi 195	. 2
32	5, 31	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  con0 4883  `cfv 5593  crnk 8202

This theorem is referenced by:  scottexs  8326  cplem2  8329  kardex  8333  scottexf  30576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-r1 8203  df-rank 8204