MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom2en01 Unicode version

Theorem sdom2en01 8703
Description: A set with less than two elements has 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
sdom2en01

Proof of Theorem sdom2en01
StepHypRef Expression
1 onfin2 7729 . . . . 5
2 inss2 3718 . . . . 5
31, 2eqsstri 3533 . . . 4
4 2onn 7308 . . . 4
53, 4sselii 3500 . . 3
6 sdomdom 7563 . . 3
7 domfi 7761 . . 3
85, 6, 7sylancr 663 . 2
9 id 22 . . . 4
10 0fin 7767 . . . 4
119, 10syl6eqel 2553 . . 3
12 1onn 7307 . . . . 5
133, 12sselii 3500 . . . 4
14 enfi 7756 . . . 4
1513, 14mpbiri 233 . . 3
1611, 15jaoi 379 . 2
17 df2o3 7162 . . . . . 6
1817eleq2i 2535 . . . . 5
19 fvex 5881 . . . . . 6
2019elpr 4047 . . . . 5
2118, 20bitri 249 . . . 4
2221a1i 11 . . 3
23 cardnn 8365 . . . . . 6
244, 23ax-mp 5 . . . . 5
2524eleq2i 2535 . . . 4
26 finnum 8350 . . . . 5
27 2on 7157 . . . . . 6
28 onenon 8351 . . . . . 6
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5
30 cardsdom2 8390 . . . . 5
3126, 29, 30sylancl 662 . . . 4
3225, 31syl5bbr 259 . . 3
33 cardnueq0 8366 . . . . 5
3426, 33syl 16 . . . 4
35 cardnn 8365 . . . . . . 7
3612, 35ax-mp 5 . . . . . 6
3736eqeq2i 2475 . . . . 5
38 finnum 8350 . . . . . . 7
3913, 38ax-mp 5 . . . . . 6
40 carden2 8389 . . . . . 6
4126, 39, 40sylancl 662 . . . . 5
4237, 41syl5bbr 259 . . . 4
4334, 42orbi12d 709 . . 3
4422, 32, 433bitr3d 283 . 2
458, 16, 44pm5.21nii 353 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818  i^icin 3474   c0 3784  {cpr 4031   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   c1o 7142   c2o 7143   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  fin56  8794  en2top  19487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator