Theorem sdom2en01 8703

Description: A set with less than two elements has 0 or 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sdom2en01

Proof of Theorem sdom2en01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 7729	. . . . 5
2		inss2 3718	. . . . 5
3	1, 2	eqsstri 3533	. . . 4
4		2onn 7308	. . . 4
5	3, 4	sselii 3500	. . 3
6		sdomdom 7563	. . 3
7		domfi 7761	. . 3
8	5, 6, 7	sylancr 663	. 2
9		id 22	. . . 4
10		0fin 7767	. . . 4
11	9, 10	syl6eqel 2553	. . 3
12		1onn 7307	. . . . 5
13	3, 12	sselii 3500	. . . 4
14		enfi 7756	. . . 4
15	13, 14	mpbiri 233	. . 3
16	11, 15	jaoi 379	. 2
17		df2o3 7162	. . . . . 6
18	17	eleq2i 2535	. . . . 5
19		fvex 5881	. . . . . 6
20	19	elpr 4047	. . . . 5
21	18, 20	bitri 249	. . . 4
22	21	a1i 11	. . 3
23		cardnn 8365	. . . . . 6
24	4, 23	ax-mp 5	. . . . 5
25	24	eleq2i 2535	. . . 4
26		finnum 8350	. . . . 5
27		2on 7157	. . . . . 6
28		onenon 8351	. . . . . 6
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . 5
30		cardsdom2 8390	. . . . 5
31	26, 29, 30	sylancl 662	. . . 4
32	25, 31	syl5bbr 259	. . 3
33		cardnueq0 8366	. . . . 5
34	26, 33	syl 16	. . . 4
35		cardnn 8365	. . . . . . 7
36	12, 35	ax-mp 5	. . . . . 6
37	36	eqeq2i 2475	. . . . 5
38		finnum 8350	. . . . . . 7
39	13, 38	ax-mp 5	. . . . . 6
40		carden2 8389	. . . . . 6
41	26, 39, 40	sylancl 662	. . . . 5
42	37, 41	syl5bbr 259	. . . 4
43	34, 42	orbi12d 709	. . 3
44	22, 32, 43	3bitr3d 283	. 2
45	8, 16, 44	pm5.21nii 353	1

Syntax hints:  <->wb 184  \/wo 368  =wceq 1395  e.wcel 1818  i^icin 3474  c0 3784  {cpr 4031   class class class wbr 4452  con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593  com 6700  c1o 7142  c2o 7143  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  fin56  8794  en2top  19487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341