Theorem sdomdomtr 7670

Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtr

Proof of Theorem sdomdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 7563	. . 3
2		domtr 7588	. . 3
3	1, 2	sylan 471	. 2
4		simpl 457	. . 3
5		simpr 461	. . . . . 6
6		ensym 7584	. . . . . 6
7		domentr 7594	. . . . . 6
8	5, 6, 7	syl2an 477	. . . . 5
9		domnsym 7663	. . . . 5
10	8, 9	syl 16	. . . 4
11	10	ex 434	. . 3
12	4, 11	mt2d 117	. 2
13		brsdom 7558	. 2
14	3, 12, 13	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369   class class class wbr 4452  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535

This theorem is referenced by:  sdomentr  7671  sucdom  7735  sucdomiOLD  7736  infsdomnn  7801  fodomfib  7820  marypha1lem  7913  r1sdom  8213  infxpenlem  8412  infunsdom1  8614  fin56  8794  fodomb  8925  pwcfsdom  8979  cfpwsdom  8980  canthp1lem2  9052  gchpwdom  9069  gchhar  9078  gchina  9098  tsksdom  9155  tskpr  9169  tskcard  9180  gruina  9217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539