MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seq1st Unicode version

Theorem seq1st 14200
Description: A sequence whose iteration function ignores the second argument is only affected by the first point of the initial value function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1
algrf.2
Assertion
Ref Expression
seq1st

Proof of Theorem seq1st
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . 2
2 seqfn 12119 . . . 4
32adantr 465 . . 3
4 seqfn 12119 . . . 4
54adantr 465 . . 3
6 fveq2 5871 . . . . . . . 8
7 fveq2 5871 . . . . . . . 8
86, 7eqeq12d 2479 . . . . . . 7
98imbi2d 316 . . . . . 6
10 fveq2 5871 . . . . . . . 8
11 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1210, 11eqeq12d 2479 . . . . . . 7
1312imbi2d 316 . . . . . 6
14 fveq2 5871 . . . . . . . 8
15 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1614, 15eqeq12d 2479 . . . . . . 7
1716imbi2d 316 . . . . . 6
18 seq1 12120 . . . . . . . . 9
1918adantr 465 . . . . . . . 8
20 seq1 12120 . . . . . . . . . 10
2120adantr 465 . . . . . . . . 9
22 id 22 . . . . . . . . . . 11
23 uzid 11124 . . . . . . . . . . . 12
24 algrf.1 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . 11
26 fvconst2g 6124 . . . . . . . . . . 11
2722, 25, 26syl2anr 478 . . . . . . . . . 10
28 fvsng 6105 . . . . . . . . . 10
2927, 28eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
3021, 29eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
3119, 30eqtr4d 2501 . . . . . . 7
3231ex 434 . . . . . 6
33 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
34 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . 12
35 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
36 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36algrflem 6909 . . . . . . . . . . . 12
3834, 37syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
39 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . 12
40 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
41 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41algrflem 6909 . . . . . . . . . . . 12
4339, 42syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
4438, 43eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
4544adantl 466 . . . . . . . . 9
4633, 45syl5ibr 221 . . . . . . . 8
4746expcom 435 . . . . . . 7
4847a2d 26 . . . . . 6
499, 13, 17, 13, 32, 48uzind4 11168 . . . . 5
5049impcom 430 . . . 4
5150adantll 713 . . 3
523, 5, 51eqfnfvd 5984 . 2
531, 52syl5eq 2510 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {csn 4029  <.cop 4035  X.cxp 5002  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator