Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcaopr2 Unicode version

Theorem seqcaopr2 12143
 Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr2.1
seqcaopr2.2
seqcaopr2.3
seqcaopr2.4
seqcaopr2.5
seqcaopr2.6
seqcaopr2.7
Assertion
Ref Expression
seqcaopr2
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,   ,N,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,M,,,,   Q,,,,,   ,,,,   S,,,,,

Proof of Theorem seqcaopr2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr2.1 . 2
2 seqcaopr2.2 . 2
3 seqcaopr2.4 . 2
4 seqcaopr2.5 . 2
5 seqcaopr2.6 . 2
6 seqcaopr2.7 . 2
7 elfzouz 11833 . . . . 5
87adantl 466 . . . 4
9 elfzouz2 11842 . . . . . . . 8
109adantl 466 . . . . . . 7
11 fzss2 11752 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
1312sselda 3503 . . . . 5
145ralrimiva 2871 . . . . . . 7
1514adantr 465 . . . . . 6
16 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1716eleq1d 2526 . . . . . . 7
1817rspccva 3209 . . . . . 6
1915, 18sylan 471 . . . . 5
2013, 19syldan 470 . . . 4
211adantlr 714 . . . 4
228, 20, 21seqcl 12127 . . 3
23 fzofzp1 11909 . . . 4
24 fveq2 5871 . . . . . 6
2524eleq1d 2526 . . . . 5
2625rspccva 3209 . . . 4
2714, 23, 26syl2an 477 . . 3
284ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
29 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
3029eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
3130rspccva 3209 . . . . . . . 8
3228, 31sylan 471 . . . . . . 7
3332adantlr 714 . . . . . 6
3413, 33syldan 470 . . . . 5
358, 34, 21seqcl 12127 . . . 4
36 fveq2 5871 . . . . . . 7
3736eleq1d 2526 . . . . . 6
3837rspccva 3209 . . . . 5
3928, 23, 38syl2an 477 . . . 4
40 seqcaopr2.3 . . . . . . . 8
4140anassrs 648 . . . . . . 7
4241ralrimivva 2878 . . . . . 6
4342ralrimivva 2878 . . . . 5
4443adantr 465 . . . 4
45 oveq1 6303 . . . . . . . 8
4645oveq1d 6311 . . . . . . 7
47 oveq1 6303 . . . . . . . 8
4847oveq1d 6311 . . . . . . 7
4946, 48eqeq12d 2479 . . . . . 6
50492ralbidv 2901 . . . . 5
51 oveq1 6303 . . . . . . . 8
5251oveq2d 6312 . . . . . . 7
53 oveq2 6304 . . . . . . . 8
5453oveq1d 6311 . . . . . . 7
5552, 54eqeq12d 2479 . . . . . 6
56552ralbidv 2901 . . . . 5
5750, 56rspc2va 3220 . . . 4
5835, 39, 44, 57syl21anc 1227 . . 3
59 oveq2 6304 . . . . . 6
6059oveq1d 6311 . . . . 5
61 oveq1 6303 . . . . . 6
6261oveq2d 6312 . . . . 5
6360, 62eqeq12d 2479 . . . 4
64 oveq2 6304 . . . . . 6
6564oveq2d 6312 . . . . 5
66 oveq2 6304 . . . . . 6
6766oveq2d 6312 . . . . 5
6865, 67eqeq12d 2479 . . . 4
6963, 68rspc2va 3220 . . 3
7022, 27, 58, 69syl21anc 1227 . 2
711, 2, 3, 4, 5, 6, 70seqcaopr3 12142 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514   caddc 9516   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824  seq`cseq 12107 This theorem is referenced by:  seqcaopr  12144  sersub  12150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108
 Copyright terms: Public domain W3C validator