Theorem seqcaopr2 12143

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr2.1
seqcaopr2.2
seqcaopr2.3
seqcaopr2.4
seqcaopr2.5
seqcaopr2.6
seqcaopr2.7

Assertion

Ref	Expression
seqcaopr2

Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,   ,N,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,M,,,,   Q,,,,,   ,,,,   S,,,,,

Proof of Theorem seqcaopr2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr2.1	. 2
2		seqcaopr2.2	. 2
3		seqcaopr2.4	. 2
4		seqcaopr2.5	. 2
5		seqcaopr2.6	. 2
6		seqcaopr2.7	. 2
7		elfzouz 11833	. . . . 5
8	7	adantl 466	. . . 4
9		elfzouz2 11842	. . . . . . . 8
10	9	adantl 466	. . . . . . 7
11		fzss2 11752	. . . . . . 7
12	10, 11	syl 16	. . . . . 6
13	12	sselda 3503	. . . . 5
14	5	ralrimiva 2871	. . . . . . 7
15	14	adantr 465	. . . . . 6
16		fveq2 5871	. . . . . . . 8
17	16	eleq1d 2526	. . . . . . 7
18	17	rspccva 3209	. . . . . 6
19	15, 18	sylan 471	. . . . 5
20	13, 19	syldan 470	. . . 4
21	1	adantlr 714	. . . 4
22	8, 20, 21	seqcl 12127	. . 3
23		fzofzp1 11909	. . . 4
24		fveq2 5871	. . . . . 6
25	24	eleq1d 2526	. . . . 5
26	25	rspccva 3209	. . . 4
27	14, 23, 26	syl2an 477	. . 3
28	4	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8
29		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
30	29	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
31	30	rspccva 3209	. . . . . . . 8
32	28, 31	sylan 471	. . . . . . 7
33	32	adantlr 714	. . . . . 6
34	13, 33	syldan 470	. . . . 5
35	8, 34, 21	seqcl 12127	. . . 4
36		fveq2 5871	. . . . . . 7
37	36	eleq1d 2526	. . . . . 6
38	37	rspccva 3209	. . . . 5
39	28, 23, 38	syl2an 477	. . . 4
40		seqcaopr2.3	. . . . . . . 8
41	40	anassrs 648	. . . . . . 7
42	41	ralrimivva 2878	. . . . . 6
43	42	ralrimivva 2878	. . . . 5
44	43	adantr 465	. . . 4
45		oveq1 6303	. . . . . . . 8
46	45	oveq1d 6311	. . . . . . 7
47		oveq1 6303	. . . . . . . 8
48	47	oveq1d 6311	. . . . . . 7
49	46, 48	eqeq12d 2479	. . . . . 6
50	49	2ralbidv 2901	. . . . 5
51		oveq1 6303	. . . . . . . 8
52	51	oveq2d 6312	. . . . . . 7
53		oveq2 6304	. . . . . . . 8
54	53	oveq1d 6311	. . . . . . 7
55	52, 54	eqeq12d 2479	. . . . . 6
56	55	2ralbidv 2901	. . . . 5
57	50, 56	rspc2va 3220	. . . 4
58	35, 39, 44, 57	syl21anc 1227	. . 3
59		oveq2 6304	. . . . . 6
60	59	oveq1d 6311	. . . . 5
61		oveq1 6303	. . . . . 6
62	61	oveq2d 6312	. . . . 5
63	60, 62	eqeq12d 2479	. . . 4
64		oveq2 6304	. . . . . 6
65	64	oveq2d 6312	. . . . 5
66		oveq2 6304	. . . . . 6
67	66	oveq2d 6312	. . . . 5
68	65, 67	eqeq12d 2479	. . . 4
69	63, 68	rspc2va 3220	. . 3
70	22, 27, 58, 69	syl21anc 1227	. 2
71	1, 2, 3, 4, 5, 6, 70	seqcaopr3 12142	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cuz 11110  cfz 11701  cfzo 11824  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  seqcaopr  12144  sersub  12150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108