Theorem seqcaopr3 12142

Description: Lemma for seqcaopr2 12143. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr3.1
seqcaopr3.2
seqcaopr3.3
seqcaopr3.4
seqcaopr3.5
seqcaopr3.6
seqcaopr3.7

Assertion

Ref	Expression
seqcaopr3

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,N,,,   ,,,,   ,,,,   ,M,,,   Q,,,,   ,,,   S,,,

Proof of Theorem seqcaopr3

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr3.3	. . 3
2		eluzfz2 11723	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		fveq2 5871	. . . . 5
5		fveq2 5871	. . . . . 6
6		fveq2 5871	. . . . . 6
7	5, 6	oveq12d 6314	. . . . 5
8	4, 7	eqeq12d 2479	. . . 4
9	8	imbi2d 316	. . 3
10		fveq2 5871	. . . . 5
11		fveq2 5871	. . . . . 6
12		fveq2 5871	. . . . . 6
13	11, 12	oveq12d 6314	. . . . 5
14	10, 13	eqeq12d 2479	. . . 4
15	14	imbi2d 316	. . 3
16		fveq2 5871	. . . . 5
17		fveq2 5871	. . . . . 6
18		fveq2 5871	. . . . . 6
19	17, 18	oveq12d 6314	. . . . 5
20	16, 19	eqeq12d 2479	. . . 4
21	20	imbi2d 316	. . 3
22		fveq2 5871	. . . . 5
23		fveq2 5871	. . . . . 6
24		fveq2 5871	. . . . . 6
25	23, 24	oveq12d 6314	. . . . 5
26	22, 25	eqeq12d 2479	. . . 4
27	26	imbi2d 316	. . 3
28		eluzfz1 11722	. . . . . . 7
29	1, 28	syl 16	. . . . . 6
30		seqcaopr3.6	. . . . . . 7
31	30	ralrimiva 2871	. . . . . 6
32		fveq2 5871	. . . . . . . 8
33		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
34		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
35	33, 34	oveq12d 6314	. . . . . . . 8
36	32, 35	eqeq12d 2479	. . . . . . 7
37	36	rspcv 3206	. . . . . 6
38	29, 31, 37	sylc 60	. . . . 5
39		eluzel2 11115	. . . . . . 7
40	1, 39	syl 16	. . . . . 6
41		seq1 12120	. . . . . 6
42	40, 41	syl 16	. . . . 5
43		seq1 12120	. . . . . . 7
44		seq1 12120	. . . . . . 7
45	43, 44	oveq12d 6314	. . . . . 6
46	40, 45	syl 16	. . . . 5
47	38, 42, 46	3eqtr4d 2508	. . . 4
48	47	a1i 11	. . 3
49		oveq1 6303	. . . . . 6
50		elfzouz 11833	. . . . . . . . 9
51	50	adantl 466	. . . . . . . 8
52		seqp1 12122	. . . . . . . 8
53	51, 52	syl 16	. . . . . . 7
54		seqcaopr3.7	. . . . . . . 8
55		fzofzp1 11909	. . . . . . . . . . 11
56	55	adantl 466	. . . . . . . . . 10
57	31	adantr 465	. . . . . . . . . 10
58		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
59		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
60		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
61	59, 60	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12
62	58, 61	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . 11
63	62	rspcv 3206	. . . . . . . . . 10
64	56, 57, 63	sylc 60	. . . . . . . . 9
65	64	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
66		seqp1 12122	. . . . . . . . . 10
67		seqp1 12122	. . . . . . . . . 10
68	66, 67	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9
69	51, 68	syl 16	. . . . . . . 8
70	54, 65, 69	3eqtr4rd 2509	. . . . . . 7
71	53, 70	eqeq12d 2479	. . . . . 6
72	49, 71	syl5ibr 221	. . . . 5
73	72	expcom 435	. . . 4
74	73	a2d 26	. . 3
75	9, 15, 21, 27, 48, 74	fzind2 11924	. 2
76	3, 75	mpcom 36	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cfzo 11824  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  seqcaopr2  12143  gsumzaddlem  16934  gsumzaddlemOLD  16936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108