Theorem seqcl 12127

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl.1
seqcl.2
seqcl.3

Assertion

Ref	Expression
seqcl

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,M,   ,,   ,S,   ,N

Proof of Theorem seqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl.1	. . . 4
2		eluzfz1 11722	. . . 4
3	1, 2	syl 16	. . 3
4		seqcl.2	. . . 4
5	4	ralrimiva 2871	. . 3
6		fveq2 5871	. . . . 5
7	6	eleq1d 2526	. . . 4
8	7	rspcv 3206	. . 3
9	3, 5, 8	sylc 60	. 2
10		seqcl.3	. 2
11		eluzel2 11115	. . . . . 6
12	1, 11	syl 16	. . . . 5
13		fzp1ss 11760	. . . . 5
14	12, 13	syl 16	. . . 4
15	14	sselda 3503	. . 3
16	15, 4	syldan 470	. 2
17	9, 10, 1, 16	seqcl2 12125	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  sermono  12139  seqsplit  12140  seqcaopr2  12143  seqf1olem2a  12145  seqf1olem2  12147  seqid3  12151  seqhomo  12154  seqz  12155  seqdistr  12158  serge0  12161  serle  12162  seqof  12164  seqcoll  12512  seqcoll2  12513  fsumcl2lem  13553  prodfn0  13703  prodfrec  13704  prodfdiv  13705  fprodcl2lem  13757  eulerthlem2  14312  gsumwsubmcl  16006  mulgnnsubcl  16154  gsumzcl2  16915  gsumzclOLD  16919  gsumzaddlem  16934  gsumzaddlemOLD  16936  gsummptfzcl  16996  lgscllem  23578  lgsval4a  23593  lgsneg  23594  lgsdir  23605  lgsdilem2  23606  lgsdi  23607  lgsne0  23608  gsumncl  28492  faclim  29171  mblfinlem2  30052  fmul01  31574  fmulcl  31575  fmuldfeq  31577  fmul01lt1lem1  31578  fmul01lt1lem2  31579  stoweidlem3  31785  stoweidlem42  31824  stoweidlem48  31830  wallispilem4  31850  wallispi  31852  wallispi2lem1  31853  wallispi2  31855  stirlinglem5  31860  stirlinglem7  31862  stirlinglem10  31865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108