Theorem seqcl2 12125

Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1
seqcl2.2
seqcl2.3
seqcl2.4

Assertion

Ref	Expression
seqcl2

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,M,   ,N   ,,   ,,

Proof of Theorem seqcl2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcl2.3	. . 3
2		eluzfz2 11723	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		eleq1 2529	. . . . . 6
5		fveq2 5871	. . . . . . 7
6	5	eleq1d 2526	. . . . . 6
7	4, 6	imbi12d 320	. . . . 5
8	7	imbi2d 316	. . . 4
9		eleq1 2529	. . . . . 6
10		fveq2 5871	. . . . . . 7
11	10	eleq1d 2526	. . . . . 6
12	9, 11	imbi12d 320	. . . . 5
13	12	imbi2d 316	. . . 4
14		eleq1 2529	. . . . . 6
15		fveq2 5871	. . . . . . 7
16	15	eleq1d 2526	. . . . . 6
17	14, 16	imbi12d 320	. . . . 5
18	17	imbi2d 316	. . . 4
19		eleq1 2529	. . . . . 6
20		fveq2 5871	. . . . . . 7
21	20	eleq1d 2526	. . . . . 6
22	19, 21	imbi12d 320	. . . . 5
23	22	imbi2d 316	. . . 4
24		seqcl2.1	. . . . . 6
25		seq1 12120	. . . . . . 7
26	25	eleq1d 2526	. . . . . 6
27	24, 26	syl5ibr 221	. . . . 5
28	27	a1dd 46	. . . 4
29		peano2fzr 11728	. . . . . . . . . 10
30	29	adantl 466	. . . . . . . . 9
31	30	expr 615	. . . . . . . 8
32	31	imim1d 75	. . . . . . 7
33		eluzp1p1 11135	. . . . . . . . . . . . . 14
34	33	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13
35		elfzuz3 11714	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . 13
37		elfzuzb 11711	. . . . . . . . . . . . 13
38	34, 36, 37	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12
39		seqcl2.4	. . . . . . . . . . . . . 14
40	39	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . 13
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
42		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
43	42	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . 12
45	38, 41, 44	sylc 60	. . . . . . . . . . 11
46		seqcl2.2	. . . . . . . . . . . . . 14
47	46	caovclg 6467	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
49	48	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
50	45, 49	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10
51		seqp1 12122	. . . . . . . . . . . 12
52	51	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11
53	52	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
54	50, 53	sylibrd 234	. . . . . . . . 9
55	54	expr 615	. . . . . . . 8
56	55	a2d 26	. . . . . . 7
57	32, 56	syld 44	. . . . . 6
58	57	expcom 435	. . . . 5
59	58	a2d 26	. . . 4
60	8, 13, 18, 23, 28, 59	uzind4 11168	. . 3
61	1, 60	mpcom 36	. 2
62	3, 61	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  seqf2  12126  seqcl  12127  seqz  12155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108