MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcoll2 Unicode version

Theorem seqcoll2 12513
Description: The function contains a sparse set of non-zero values to be summed. The function is an order isomorphism from the set of non-zero values of to a 1-based finite sequence, and collects these non-zero values together. Under these conditions, the sum over the values in yields the same result as the sum over the original set . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcoll2.1
seqcoll2.1b
seqcoll2.c
seqcoll2.a
seqcoll2.2
seqcoll2.3
seqcoll2.5
seqcoll2.6
seqcoll2.7
seqcoll2.8
Assertion
Ref Expression
seqcoll2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,   ,M,   , ,   ,N   , ,   S, ,   ,

Proof of Theorem seqcoll2
StepHypRef Expression
1 seqcoll2.1b . . 3
2 fzssuz 11753 . . . 4
3 seqcoll2.5 . . . . 5
4 seqcoll2.2 . . . . . . . 8
5 isof1o 6221 . . . . . . . 8
64, 5syl 16 . . . . . . 7
7 f1of 5821 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
9 seqcoll2.3 . . . . . . . . . 10
10 fzfi 12082 . . . . . . . . . . . . 13
11 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 3, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
13 hasheq0 12433 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11
1514necon3bbid 2704 . . . . . . . . . 10
169, 15mpbird 232 . . . . . . . . 9
17 hashcl 12428 . . . . . . . . . . . 12
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11
19 elnn0 10822 . . . . . . . . . . 11
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . . 10
2120ord 377 . . . . . . . . 9
2216, 21mt3d 125 . . . . . . . 8
23 nnuz 11145 . . . . . . . 8
2422, 23syl6eleq 2555 . . . . . . 7
25 eluzfz2 11723 . . . . . . 7
2624, 25syl 16 . . . . . 6
278, 26ffvelrnd 6032 . . . . 5
283, 27sseldd 3504 . . . 4
292, 28sseldi 3501 . . 3
30 elfzuz3 11714 . . . 4
3128, 30syl 16 . . 3
32 fzss2 11752 . . . . . . 7
3331, 32syl 16 . . . . . 6
3433sselda 3503 . . . . 5
35 seqcoll2.6 . . . . 5
3634, 35syldan 470 . . . 4
37 seqcoll2.c . . . 4
3829, 36, 37seqcl 12127 . . 3
39 peano2uz 11163 . . . . . . . 8
4029, 39syl 16 . . . . . . 7
41 fzss1 11751 . . . . . . 7
4240, 41syl 16 . . . . . 6
4342sselda 3503 . . . . 5
44 eluzelre 11120 . . . . . . . . 9
4529, 44syl 16 . . . . . . . 8
4645adantr 465 . . . . . . 7
47 peano2re 9774 . . . . . . . 8
4846, 47syl 16 . . . . . . 7
49 elfzelz 11717 . . . . . . . . 9
5049zred 10994 . . . . . . . 8
5150adantl 466 . . . . . . 7
5246ltp1d 10501 . . . . . . 7
53 elfzle1 11718 . . . . . . . 8
5453adantl 466 . . . . . . 7
5546, 48, 51, 52, 54ltletrd 9763 . . . . . 6
566adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
57 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12
59 f1of 5821 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11
61 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
6260, 61ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10
63 elfzle2 11719 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl 16 . . . . . . . . 9
65 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . 12
6662, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11
6766zred 10994 . . . . . . . . . 10
6818adantr 465 . . . . . . . . . . 11
6968nn0red 10878 . . . . . . . . . 10
7067, 69lenltd 9752 . . . . . . . . 9
7164, 70mpbid 210 . . . . . . . 8
724adantr 465 . . . . . . . . . 10
7326adantr 465 . . . . . . . . . 10
74 isorel 6222 . . . . . . . . . 10
7572, 73, 62, 74syl12anc 1226 . . . . . . . . 9
76 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . 11
7756, 61, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
7877breq2d 4464 . . . . . . . . 9
7975, 78bitrd 253 . . . . . . . 8
8071, 79mtbid 300 . . . . . . 7
8180expr 615 . . . . . 6
8255, 81mt2d 117 . . . . 5
8343, 82eldifd 3486 . . . 4
84 seqcoll2.7 . . . 4
8583, 84syldan 470 . . 3
861, 29, 31, 38, 85seqid2 12153 . 2
87 seqcoll2.1 . . 3
88 seqcoll2.a . . 3
893, 2syl6ss 3515 . . 3
9033ssdifd 3639 . . . . 5
9190sselda 3503 . . . 4
9291, 84syldan 470 . . 3
93 seqcoll2.8 . . 3
9487, 1, 37, 88, 4, 26, 89, 36, 92, 93seqcoll 12512 . 2
9586, 94eqtr3d 2500 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296   cfn 7536   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405
This theorem is referenced by:  isercolllem3  13489  gsumval3OLD  16908  gsumval3  16911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator