Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcoll2 Unicode version

Theorem seqcoll2 12375
 Description: The function contains a sparse set of non-zero values to be summed. The function is an order isomorphism from the set of non-zero values of to a 1-based finite sequence, and collects these non-zero values together. Under these conditions, the sum over the values in yields the same result as the sum over the original set . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcoll2.1
seqcoll2.1b
seqcoll2.c
seqcoll2.a
seqcoll2.2
seqcoll2.3
seqcoll2.5
seqcoll2.6
seqcoll2.7
seqcoll2.8
Assertion
Ref Expression
seqcoll2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,M,   ,,   ,N   ,,   S,,   ,

Proof of Theorem seqcoll2
StepHypRef Expression
1 seqcoll2.1b . . 3
2 fzssuz 11644 . . . 4
3 seqcoll2.5 . . . . 5
4 seqcoll2.2 . . . . . . . 8
5 isof1o 6147 . . . . . . . 8
64, 5syl 16 . . . . . . 7
7 f1of 5763 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
9 seqcoll2.3 . . . . . . . . . 10
10 fzfi 11939 . . . . . . . . . . . . 13
11 ssfi 7668 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 3, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
13 hasheq0 12288 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11
1514necon3bbid 2700 . . . . . . . . . 10
169, 15mpbird 232 . . . . . . . . 9
17 hashcl 12283 . . . . . . . . . . . 12
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11
19 elnn0 10719 . . . . . . . . . . 11
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . . 10
2120ord 377 . . . . . . . . 9
2216, 21mt3d 125 . . . . . . . 8
23 nnuz 11035 . . . . . . . 8
2422, 23syl6eleq 2552 . . . . . . 7
25 eluzfz2 11604 . . . . . . 7
2624, 25syl 16 . . . . . 6
278, 26ffvelrnd 5967 . . . . 5
283, 27sseldd 3471 . . . 4
292, 28sseldi 3468 . . 3
30 elfzuz3 11595 . . . 4
3128, 30syl 16 . . 3
32 fzss2 11643 . . . . . . 7
3331, 32syl 16 . . . . . 6
3433sselda 3470 . . . . 5
35 seqcoll2.6 . . . . 5
3634, 35syldan 470 . . . 4
37 seqcoll2.c . . . 4
3829, 36, 37seqcl 11983 . . 3
39 peano2uz 11047 . . . . . . . 8
4029, 39syl 16 . . . . . . 7
41 fzss1 11642 . . . . . . 7
4240, 41syl 16 . . . . . 6
4342sselda 3470 . . . . 5
44 eluzelre 11010 . . . . . . . . 9
4529, 44syl 16 . . . . . . . 8
4645adantr 465 . . . . . . 7
47 peano2re 9679 . . . . . . . 8
4846, 47syl 16 . . . . . . 7
49 elfzelz 11598 . . . . . . . . 9
5049zred 10885 . . . . . . . 8
5150adantl 466 . . . . . . 7
5246ltp1d 10400 . . . . . . 7
53 elfzle1 11599 . . . . . . . 8
5453adantl 466 . . . . . . 7
5546, 48, 51, 52, 54ltletrd 9668 . . . . . 6
566adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
57 f1ocnv 5775 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12
59 f1of 5763 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11
61 simprr 756 . . . . . . . . . . 11
6260, 61ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . 10
63 elfzle2 11600 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl 16 . . . . . . . . 9
65 elfzelz 11598 . . . . . . . . . . . 12
6662, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11
6766zred 10885 . . . . . . . . . 10
6818adantr 465 . . . . . . . . . . 11
6968nn0red 10775 . . . . . . . . . 10
7067, 69lenltd 9657 . . . . . . . . 9
7164, 70mpbid 210 . . . . . . . 8
724adantr 465 . . . . . . . . . 10
7326adantr 465 . . . . . . . . . 10
74 isorel 6148 . . . . . . . . . 10
7572, 73, 62, 74syl12anc 1217 . . . . . . . . 9
76 f1ocnvfv2 6109 . . . . . . . . . . 11
7756, 61, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
7877breq2d 4421 . . . . . . . . 9
7975, 78bitrd 253 . . . . . . . 8
8071, 79mtbid 300 . . . . . . 7
8180expr 615 . . . . . 6
8255, 81mt2d 117 . . . . 5
8343, 82eldifd 3453 . . . 4
84 seqcoll2.7 . . . 4
8583, 84syldan 470 . . 3
861, 29, 31, 38, 85seqid2 12009 . 2
87 seqcoll2.1 . . 3
88 seqcoll2.a . . 3
893, 2syl6ss 3482 . . 3
9033ssdifd 3606 . . . . 5
9190sselda 3470 . . . 4
9291, 84syldan 470 . . 3
93 seqcoll2.8 . . 3
9487, 1, 37, 88, 4, 26, 89, 36, 92, 93seqcoll 12374 . 2
9586, 94eqtr3d 2497 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  \cdif 3439  C_wss 3442   c0 3751   class class class wbr 4409  'ccnv 4956  -->wf 5533  -1-1-onto->wf1o 5536  cfv 5537  Isomwiso 5538  (class class class)co 6222   cfn 7444   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   clt 9555   cle 9556   cn 10460   cn0 10717   cz 10784   cuz 11000   cfz 11582  seqcseq 11963   chash 12260 This theorem is referenced by:  isercolllem3  13302  gsumval3OLD  16543  gsumval3  16546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-fz 11583  df-seq 11964  df-hash 12261
 Copyright terms: Public domain W3C validator