MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcoll2 Unicode version

Theorem seqcoll2 12158
Description: The function contains a sparse set of non-zero values to be summed. The function is an order isomorphism from the set of non-zero values of to a 1-based finite sequence, and collects these non-zero values together. Under these conditions, the sum over the values in yields the same result as the sum over the original set . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcoll2.1
seqcoll2.1b
seqcoll2.c
seqcoll2.a
seqcoll2.2
seqcoll2.3
seqcoll2.5
seqcoll2.6
seqcoll2.7
seqcoll2.8
Assertion
Ref Expression
seqcoll2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,   ,M,   , ,   ,N   , ,   S, ,   ,

Proof of Theorem seqcoll2
StepHypRef Expression
1 seqcoll2.1b . . 3
2 fzssuz 11443 . . . 4
3 seqcoll2.5 . . . . 5
4 seqcoll2.2 . . . . . . . 8
5 isof1o 5984 . . . . . . . 8
64, 5syl 16 . . . . . . 7
7 f1of 5611 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
9 seqcoll2.3 . . . . . . . . . 10
10 fzfi 11735 . . . . . . . . . . . . 13
11 ssfi 7492 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 3, 11sylancr 648 . . . . . . . . . . . 12
13 hasheq0 12072 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11
1514necon3bbid 2621 . . . . . . . . . 10
169, 15mpbird 226 . . . . . . . . 9
17 hashcl 12067 . . . . . . . . . . . 12
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11
19 elnn0 10527 . . . . . . . . . . 11
2018, 19sylib 190 . . . . . . . . . 10
2120ord 370 . . . . . . . . 9
2216, 21mt3d 120 . . . . . . . 8
23 nnuz 10841 . . . . . . . 8
2422, 23syl6eleq 2512 . . . . . . 7
25 eluzfz2 11403 . . . . . . 7
2624, 25syl 16 . . . . . 6
278, 26ffvelrnd 5814 . . . . 5
283, 27sseldd 3334 . . . 4
292, 28sseldi 3331 . . 3
30 elfzuz3 11394 . . . 4
3128, 30syl 16 . . 3
32 fzss2 11442 . . . . . . 7
3331, 32syl 16 . . . . . 6
3433sselda 3333 . . . . 5
35 seqcoll2.6 . . . . 5
3634, 35syldan 460 . . . 4
37 seqcoll2.c . . . 4
3829, 36, 37seqcl 11767 . . 3
39 peano2uz 10853 . . . . . . . 8
4029, 39syl 16 . . . . . . 7
41 fzss1 11441 . . . . . . 7
4240, 41syl 16 . . . . . 6
4342sselda 3333 . . . . 5
44 eluzelre 10816 . . . . . . . . 9
4529, 44syl 16 . . . . . . . 8
4645adantr 455 . . . . . . 7
47 peano2re 9488 . . . . . . . 8
4846, 47syl 16 . . . . . . 7
49 elfzelz 11397 . . . . . . . . 9
5049zred 10692 . . . . . . . 8
5150adantl 456 . . . . . . 7
5246ltp1d 10209 . . . . . . 7
53 elfzle1 11398 . . . . . . . 8
5453adantl 456 . . . . . . 7
5546, 48, 51, 52, 54ltletrd 9477 . . . . . 6
566adantr 455 . . . . . . . . . . . . 13
57 f1ocnv 5623 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12
59 f1of 5611 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11
61 simprr 741 . . . . . . . . . . 11
6260, 61ffvelrnd 5814 . . . . . . . . . 10
63 elfzle2 11399 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl 16 . . . . . . . . 9
65 elfzelz 11397 . . . . . . . . . . . 12
6662, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11
6766zred 10692 . . . . . . . . . 10
6818adantr 455 . . . . . . . . . . 11
6968nn0red 10582 . . . . . . . . . 10
7067, 69lenltd 9466 . . . . . . . . 9
7164, 70mpbid 204 . . . . . . . 8
724adantr 455 . . . . . . . . . 10
7326adantr 455 . . . . . . . . . 10
74 isorel 5985 . . . . . . . . . 10
7572, 73, 62, 74syl12anc 1201 . . . . . . . . 9
76 f1ocnvfv2 5952 . . . . . . . . . . 11
7756, 61, 76syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
7877breq2d 4279 . . . . . . . . 9
7975, 78bitrd 247 . . . . . . . 8
8071, 79mtbid 294 . . . . . . 7
8180expr 602 . . . . . 6
8255, 81mt2d 112 . . . . 5
8343, 82eldifd 3316 . . . 4
84 seqcoll2.7 . . . 4
8583, 84syldan 460 . . 3
861, 29, 31, 38, 85seqid2 11793 . 2
87 seqcoll2.1 . . 3
88 seqcoll2.a . . 3
893, 2syl6ss 3345 . . 3
9033ssdifd 3469 . . . . 5
9190sselda 3333 . . . 4
9291, 84syldan 460 . . 3
93 seqcoll2.8 . . 3
9487, 1, 37, 88, 4, 26, 89, 36, 92, 93seqcoll 12157 . 2
9586, 94eqtr3d 2456 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 361  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  \cdif 3302  C_wss 3305   c0 3614   class class class wbr 4267  `'ccnv 4810  -->wf 5386  -1-1-onto->wf1o 5389  `cfv 5390  Isomwiso 5391  (class class class)co 6061   cfn 7269   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   clt 9364   cle 9365   cn 10268   cn0 10525   cz 10591   cuz 10806   cfz 11381  seqcseq 11747   chash 12044
This theorem is referenced by:  isercolllem3  13085  gsumval3  16317  gsumXval3  30465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-fz 11382  df-seq 11748  df-hash 12045
  Copyright terms: Public domain W3C validator