Theorem seqf1olem2a 12145

Description: Lemma for seqf1o 12148. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1
seqf1o.2
seqf1o.3
seqf1o.4
seqf1o.5
seqf1olem2a.1
seqf1olem2a.3
seqf1olem2a.4

Assertion

Ref	Expression
seqf1olem2a

Distinct variable groups:   ,,,   ,M,,   ,,,   ,N,,   ,,,   ,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem seqf1olem2a

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1o.4	. . 3
2		eluzfz2 11723	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		fveq2 5871	. . . . . 6
5	4	oveq2d 6312	. . . . 5
6	4	oveq1d 6311	. . . . 5
7	5, 6	eqeq12d 2479	. . . 4
8	7	imbi2d 316	. . 3
9		fveq2 5871	. . . . . 6
10	9	oveq2d 6312	. . . . 5
11	9	oveq1d 6311	. . . . 5
12	10, 11	eqeq12d 2479	. . . 4
13	12	imbi2d 316	. . 3
14		fveq2 5871	. . . . . 6
15	14	oveq2d 6312	. . . . 5
16	14	oveq1d 6311	. . . . 5
17	15, 16	eqeq12d 2479	. . . 4
18	17	imbi2d 316	. . 3
19		fveq2 5871	. . . . . 6
20	19	oveq2d 6312	. . . . 5
21	19	oveq1d 6311	. . . . 5
22	20, 21	eqeq12d 2479	. . . 4
23	22	imbi2d 316	. . 3
24		seqf1o.2	. . . . 5
25		seqf1olem2a.1	. . . . . 6
26		seqf1olem2a.3	. . . . . 6
27	25, 26	ffvelrnd 6032	. . . . 5
28		eluzel2 11115	. . . . . . 7
29		seq1 12120	. . . . . . 7
30	1, 28, 29	3syl 20	. . . . . 6
31		seqf1olem2a.4	. . . . . . . 8
32		eluzfz1 11722	. . . . . . . . 9
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . 8
34	31, 33	sseldd 3504	. . . . . . 7
35	25, 34	ffvelrnd 6032	. . . . . 6
36	30, 35	eqeltrd 2545	. . . . 5
37	24, 27, 36	caovcomd 6471	. . . 4
38	37	a1i 11	. . 3
39		oveq1 6303	. . . . . 6
40		elfzouz 11833	. . . . . . . . . . 11
41	40	adantl 466	. . . . . . . . . 10
42		seqp1 12122	. . . . . . . . . 10
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . 9
44	43	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
45		seqf1o.3	. . . . . . . . . 10
46	45	adantlr 714	. . . . . . . . 9
47		seqf1o.5	. . . . . . . . . . 11
48	47, 27	sseldd 3504	. . . . . . . . . 10
49	48	adantr 465	. . . . . . . . 9
50	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
52	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
54		elfzouz2 11842	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
56		fzss2 11752	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
58	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
59	57, 58	sstrd 3513	. . . . . . . . . . . . 13
60	59	sselda 3503	. . . . . . . . . . . 12
61	53, 60	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . 11
62	51, 61	sseldd 3504	. . . . . . . . . 10
63		seqf1o.1	. . . . . . . . . . 11
64	63	adantlr 714	. . . . . . . . . 10
65	41, 62, 64	seqcl 12127	. . . . . . . . 9
66		fzofzp1 11909	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
68	58, 67	sseldd 3504	. . . . . . . . . . 11
69	52, 68	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . 10
70	50, 69	sseldd 3504	. . . . . . . . 9
71	46, 49, 65, 70	caovassd 6474	. . . . . . . 8
72	44, 71	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
73	46, 65, 70, 49	caovassd 6474	. . . . . . . 8
74	43	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
75	46, 65, 49, 70	caovassd 6474	. . . . . . . . 9
76	24	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
77	27	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
78	76, 69, 77	caovcomd 6471	. . . . . . . . . 10
79	78	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
80	75, 79	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8
81	73, 74, 80	3eqtr4d 2508	. . . . . . 7
82	72, 81	eqeq12d 2479	. . . . . 6
83	39, 82	syl5ibr 221	. . . . 5
84	83	expcom 435	. . . 4
85	84	a2d 26	. . 3
86	8, 13, 18, 23, 38, 85	fzind2 11924	. 2
87	3, 86	mpcom 36	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cfzo 11824  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108