Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqf1olem2a Unicode version

Theorem seqf1olem2a 12145
 Description: Lemma for seqf1o 12148. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf1o.1
seqf1o.2
seqf1o.3
seqf1o.4
seqf1o.5
seqf1olem2a.1
seqf1olem2a.3
seqf1olem2a.4
Assertion
Ref Expression
seqf1olem2a
Distinct variable groups:   ,,,   ,M,,   ,,,   ,N,,   ,,,   ,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem seqf1olem2a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf1o.4 . . 3
2 eluzfz2 11723 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 fveq2 5871 . . . . . 6
54oveq2d 6312 . . . . 5
64oveq1d 6311 . . . . 5
75, 6eqeq12d 2479 . . . 4
87imbi2d 316 . . 3
9 fveq2 5871 . . . . . 6
109oveq2d 6312 . . . . 5
119oveq1d 6311 . . . . 5
1210, 11eqeq12d 2479 . . . 4
1312imbi2d 316 . . 3
14 fveq2 5871 . . . . . 6
1514oveq2d 6312 . . . . 5
1614oveq1d 6311 . . . . 5
1715, 16eqeq12d 2479 . . . 4
1817imbi2d 316 . . 3
19 fveq2 5871 . . . . . 6
2019oveq2d 6312 . . . . 5
2119oveq1d 6311 . . . . 5
2220, 21eqeq12d 2479 . . . 4
2322imbi2d 316 . . 3
24 seqf1o.2 . . . . 5
25 seqf1olem2a.1 . . . . . 6
26 seqf1olem2a.3 . . . . . 6
2725, 26ffvelrnd 6032 . . . . 5
28 eluzel2 11115 . . . . . . 7
29 seq1 12120 . . . . . . 7
301, 28, 293syl 20 . . . . . 6
31 seqf1olem2a.4 . . . . . . . 8
32 eluzfz1 11722 . . . . . . . . 9
331, 32syl 16 . . . . . . . 8
3431, 33sseldd 3504 . . . . . . 7
3525, 34ffvelrnd 6032 . . . . . 6
3630, 35eqeltrd 2545 . . . . 5
3724, 27, 36caovcomd 6471 . . . 4
3837a1i 11 . . 3
39 oveq1 6303 . . . . . 6
40 elfzouz 11833 . . . . . . . . . . 11
4140adantl 466 . . . . . . . . . 10
42 seqp1 12122 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9
4443oveq2d 6312 . . . . . . . 8
45 seqf1o.3 . . . . . . . . . 10
4645adantlr 714 . . . . . . . . 9
47 seqf1o.5 . . . . . . . . . . 11
4847, 27sseldd 3504 . . . . . . . . . 10
4948adantr 465 . . . . . . . . 9
5047adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5150adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5225adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
54 elfzouz2 11842 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 fzss2 11752 . . . . . . . . . . . . . . 15
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5831adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 58sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . 13
6059sselda 3503 . . . . . . . . . . . 12
6153, 60ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . 11
6251, 61sseldd 3504 . . . . . . . . . 10
63 seqf1o.1 . . . . . . . . . . 11
6463adantlr 714 . . . . . . . . . 10
6541, 62, 64seqcl 12127 . . . . . . . . 9
66 fzofzp1 11909 . . . . . . . . . . . . 13
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
6858, 67sseldd 3504 . . . . . . . . . . 11
6952, 68ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10
7050, 69sseldd 3504 . . . . . . . . 9
7146, 49, 65, 70caovassd 6474 . . . . . . . 8
7244, 71eqtr4d 2501 . . . . . . 7
7346, 65, 70, 49caovassd 6474 . . . . . . . 8
7443oveq1d 6311 . . . . . . . 8
7546, 65, 49, 70caovassd 6474 . . . . . . . . 9
7624adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
7727adantr 465 . . . . . . . . . . 11
7876, 69, 77caovcomd 6471 . . . . . . . . . 10
7978oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
8075, 79eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
8173, 74, 803eqtr4d 2508 . . . . . . 7
8272, 81eqeq12d 2479 . . . . . 6
8339, 82syl5ibr 221 . . . . 5
8483expcom 435 . . . 4
8584a2d 26 . . 3
868, 13, 18, 23, 38, 85fzind2 11924 . 2
873, 86mpcom 36 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824  seq`cseq 12107 This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12147 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108
 Copyright terms: Public domain W3C validator