Theorem seqfveq2 12129

Description: Equality of sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfveq2.1
seqfveq2.2
seqfveq2.3
seqfveq2.4

Assertion

Ref	Expression
seqfveq2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,N   ,

Proof of Theorem seqfveq2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfveq2.3	. . 3
2		eluzfz2 11723	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		eleq1 2529	. . . . . 6
5		fveq2 5871	. . . . . . 7
6		fveq2 5871	. . . . . . 7
7	5, 6	eqeq12d 2479	. . . . . 6
8	4, 7	imbi12d 320	. . . . 5
9	8	imbi2d 316	. . . 4
10		eleq1 2529	. . . . . 6
11		fveq2 5871	. . . . . . 7
12		fveq2 5871	. . . . . . 7
13	11, 12	eqeq12d 2479	. . . . . 6
14	10, 13	imbi12d 320	. . . . 5
15	14	imbi2d 316	. . . 4
16		eleq1 2529	. . . . . 6
17		fveq2 5871	. . . . . . 7
18		fveq2 5871	. . . . . . 7
19	17, 18	eqeq12d 2479	. . . . . 6
20	16, 19	imbi12d 320	. . . . 5
21	20	imbi2d 316	. . . 4
22		eleq1 2529	. . . . . 6
23		fveq2 5871	. . . . . . 7
24		fveq2 5871	. . . . . . 7
25	23, 24	eqeq12d 2479	. . . . . 6
26	22, 25	imbi12d 320	. . . . 5
27	26	imbi2d 316	. . . 4
28		seqfveq2.2	. . . . . . 7
29		seqfveq2.1	. . . . . . . . 9
30		eluzelz 11119	. . . . . . . . 9
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . 8
32		seq1 12120	. . . . . . . 8
33	31, 32	syl 16	. . . . . . 7
34	28, 33	eqtr4d 2501	. . . . . 6
35	34	a1d 25	. . . . 5
36	35	a1i 11	. . . 4
37		peano2fzr 11728	. . . . . . . . . 10
38	37	adantl 466	. . . . . . . . 9
39	38	expr 615	. . . . . . . 8
40	39	imim1d 75	. . . . . . 7
41		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10
42		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13
43		uztrn 11126	. . . . . . . . . . . . 13
44	42, 29, 43	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12
45		seqp1 12122	. . . . . . . . . . . 12
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . 11
47		seqp1 12122	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12
49		eluzp1p1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50	49	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		elfzuz3 11714	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52	51	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15
53		elfzuzb 11711	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	50, 52, 53	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14
55		seqfveq2.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
58		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	58, 59	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . 15
61	60	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . 14
62	54, 57, 61	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13
63	62	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
64	48, 63	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11
65	46, 64	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10
66	41, 65	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9
67	66	expr 615	. . . . . . . 8
68	67	a2d 26	. . . . . . 7
69	40, 68	syld 44	. . . . . 6
70	69	expcom 435	. . . . 5
71	70	a2d 26	. . . 4
72	9, 15, 21, 27, 36, 71	uzind4 11168	. . 3
73	1, 72	mpcom 36	. 2
74	3, 73	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  seqfeq2  12130  seqfveq  12131  seqz  12155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108