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Theorem seqhomo 12154
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1
seqhomo.2
seqhomo.3
seqhomo.4
seqhomo.5
Assertion
Ref Expression
seqhomo
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,M,   ,N,   , ,   ,   , ,   ,Q,   ,S,

Proof of Theorem seqhomo
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqhomo.3 . . 3
2 eluzfz2 11723 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 eleq1 2529 . . . . . 6
5 fveq2 5871 . . . . . . . 8
65fveq2d 5875 . . . . . . 7
7 fveq2 5871 . . . . . . 7
86, 7eqeq12d 2479 . . . . . 6
94, 8imbi12d 320 . . . . 5
109imbi2d 316 . . . 4
11 eleq1 2529 . . . . . 6
12 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1312fveq2d 5875 . . . . . . 7
14 fveq2 5871 . . . . . . 7
1513, 14eqeq12d 2479 . . . . . 6
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5
1716imbi2d 316 . . . 4
18 eleq1 2529 . . . . . 6
19 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2019fveq2d 5875 . . . . . . 7
21 fveq2 5871 . . . . . . 7
2220, 21eqeq12d 2479 . . . . . 6
2318, 22imbi12d 320 . . . . 5
2423imbi2d 316 . . . 4
25 eleq1 2529 . . . . . 6
26 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2726fveq2d 5875 . . . . . . 7
28 fveq2 5871 . . . . . . 7
2927, 28eqeq12d 2479 . . . . . 6
3025, 29imbi12d 320 . . . . 5
3130imbi2d 316 . . . 4
32 eluzfz1 11722 . . . . . . . . 9
331, 32syl 16 . . . . . . . 8
34 seqhomo.5 . . . . . . . . 9
3534ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
36 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
3736fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
38 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
3937, 38eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
4039rspcv 3206 . . . . . . . 8
4133, 35, 40sylc 60 . . . . . . 7
42 eluzel2 11115 . . . . . . . . 9
43 seq1 12120 . . . . . . . . 9
441, 42, 433syl 20 . . . . . . . 8
4544fveq2d 5875 . . . . . . 7
46 seq1 12120 . . . . . . . 8
471, 42, 463syl 20 . . . . . . 7
4841, 45, 473eqtr4d 2508 . . . . . 6
4948a1d 25 . . . . 5
5049a1i 11 . . . 4
51 simprl 756 . . . . . . . . . 10
52 simprr 757 . . . . . . . . . 10
53 peano2fzr 11728 . . . . . . . . . 10
5451, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . 9
5554expr 615 . . . . . . . 8
5655imim1d 75 . . . . . . 7
57 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
58 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . . . 14
5958ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
6059fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
61 seqhomo.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . . . 14
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
64 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65 fzss2 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6654, 64, 653syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6766sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7067, 69syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 seqhomo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
7351, 70, 72seqcl 12127 . . . . . . . . . . . . . 14
7468ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15
7952, 75, 78sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14
80 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8481, 83eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8986, 88eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
9084, 89rspc2v 3219 . . . . . . . . . . . . . 14
9173, 79, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9263, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
9335adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
9476fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9694, 95eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
9852, 93, 97sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
9998oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
10060, 92, 993eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11
101 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . 12
102101ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
103100, 102eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
10457, 103syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
105104expr 615 . . . . . . . 8
106105a2d 26 . . . . . . 7
10756, 106syld 44 . . . . . 6
108107expcom 435 . . . . 5
109108a2d 26 . . . 4
11010, 17, 24, 31, 50, 109uzind4 11168 . . 3
1111, 110mpcom 36 . 2
1123, 111mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  seqfeq4  12156  seqdistr  12158  seqof  12164  fsumrelem  13621  efcj  13827  gsumwmhm  16013  gsumzmhm  16957  gsumzmhmOLD  16958  elqaalem2  22716  logfac  22985  prmorcht  23452  pclogsum  23490  gamcvg2lem  28601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
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