MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid Unicode version

Theorem seqid 12152
Description: Discard the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or whatever the identity is for operation ). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid.1
seqid.2
seqid.3
seqid.4
seqid.5
Assertion
Ref Expression
seqid
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N   ,S   ,   ,

Proof of Theorem seqid
StepHypRef Expression
1 seqid.3 . 2
2 eluzelz 11119 . . . . 5
3 seq1 12120 . . . . 5
41, 2, 33syl 20 . . . 4
5 seqeq1 12110 . . . . . 6
65fveq1d 5873 . . . . 5
76eqeq1d 2459 . . . 4
84, 7syl5ibcom 220 . . 3
9 eluzel2 11115 . . . . . . 7
101, 9syl 16 . . . . . 6
11 seqm1 12124 . . . . . 6
1210, 11sylan 471 . . . . 5
13 seqid.2 . . . . . . . . 9
14 seqid.1 . . . . . . . . . 10
1514ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
16 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
17 id 22 . . . . . . . . . . 11
1816, 17eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
1918rspcv 3206 . . . . . . . . 9
2013, 15, 19sylc 60 . . . . . . . 8
2120adantr 465 . . . . . . 7
22 eluzp1m1 11133 . . . . . . . 8
2310, 22sylan 471 . . . . . . 7
24 seqid.5 . . . . . . . 8
2524adantlr 714 . . . . . . 7
2621, 23, 25seqid3 12151 . . . . . 6
2726oveq1d 6311 . . . . 5
28 seqid.4 . . . . . . 7
2928adantr 465 . . . . . 6
3015adantr 465 . . . . . 6
31 oveq2 6304 . . . . . . . 8
32 id 22 . . . . . . . 8
3331, 32eqeq12d 2479 . . . . . . 7
3433rspcv 3206 . . . . . 6
3529, 30, 34sylc 60 . . . . 5
3612, 27, 353eqtrd 2502 . . . 4
3736ex 434 . . 3
38 uzp1 11143 . . . 4
391, 38syl 16 . . 3
408, 37, 39mpjaod 381 . 2
41 eqidd 2458 . 2
421, 40, 41seqfeq2 12130 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  seqcoll  12512  sumrblem  13533  prodrblem  13736  logtayl  23041  leibpilem2  23272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator