Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid2 Unicode version

Theorem seqid2 12153
 Description: The last few terms of a sequence that ends with all zeroes (or whatever the identity is for operation ) are all the same. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid2.1
seqid2.2
seqid2.3
seqid2.4
seqid2.5
Assertion
Ref Expression
seqid2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N   ,   ,S   ,   ,

Proof of Theorem seqid2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqid2.3 . . 3
2 eluzfz2 11723 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 eleq1 2529 . . . . . 6
5 fveq2 5871 . . . . . . 7
65eqeq2d 2471 . . . . . 6
74, 6imbi12d 320 . . . . 5
87imbi2d 316 . . . 4
9 eleq1 2529 . . . . . 6
10 fveq2 5871 . . . . . . 7
1110eqeq2d 2471 . . . . . 6
129, 11imbi12d 320 . . . . 5
1312imbi2d 316 . . . 4
14 eleq1 2529 . . . . . 6
15 fveq2 5871 . . . . . . 7
1615eqeq2d 2471 . . . . . 6
1714, 16imbi12d 320 . . . . 5
1817imbi2d 316 . . . 4
19 eleq1 2529 . . . . . 6
20 fveq2 5871 . . . . . . 7
2120eqeq2d 2471 . . . . . 6
2219, 21imbi12d 320 . . . . 5
2322imbi2d 316 . . . 4
24 eqidd 2458 . . . . 5
2524a1ii 27 . . . 4
26 peano2fzr 11728 . . . . . . . . . 10
2726adantl 466 . . . . . . . . 9
2827expr 615 . . . . . . . 8
2928imim1d 75 . . . . . . 7
30 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
31 eluzp1p1 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 elfzuzb 11711 . . . . . . . . . . . . . . 15
3632, 34, 35sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14
37 seqid2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
40 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
4336, 39, 42sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
4443oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
45 seqid2.4 . . . . . . . . . . . . . 14
46 seqid2.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . 14
48 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5048, 49eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
5245, 47, 51sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5444, 53eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . 11
55 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13
56 seqid2.2 . . . . . . . . . . . . . 14
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
58 uztrn 11126 . . . . . . . . . . . . 13
5955, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
60 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . 12
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11
6254, 61eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
6330, 62syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
6463expr 615 . . . . . . . 8
6564a2d 26 . . . . . . 7
6629, 65syld 44 . . . . . 6
6766expcom 435 . . . . 5
6867a2d 26 . . . 4
698, 13, 18, 23, 25, 68uzind4 11168 . . 3
701, 69mpcom 36 . 2
713, 70mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seq`cseq 12107 This theorem is referenced by:  seqcoll  12512  seqcoll2  12513  fsumcvg  13534  fprodcvg  13737  ovolicc1  21927  lgsdilem2  23606 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
 Copyright terms: Public domain W3C validator