Theorem seqof2 12165

Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 12164. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqof2.1
seqof2.2
seqof2.3
seqof2.4

Assertion

Ref	Expression
seqof2

Distinct variable groups:   ,,   ,M,   ,N,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem seqof2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqof2.1	. . 3
2		seqof2.2	. . 3
3		nfv 1707	. . . . . 6
4		nffvmpt1 5879	. . . . . . 7
5		nfcv 2619	. . . . . . . 8
6		nffvmpt1 5879	. . . . . . . 8
7	5, 6	nfmpt 4540	. . . . . . 7
8	4, 7	nfeq 2630	. . . . . 6
9	3, 8	nfim 1920	. . . . 5
10		eleq1 2529	. . . . . . 7
11	10	anbi2d 703	. . . . . 6
12		fveq2 5871	. . . . . . 7
13		fveq2 5871	. . . . . . . 8
14	13	mpteq2dv 4539	. . . . . . 7
15	12, 14	eqeq12d 2479	. . . . . 6
16	11, 15	imbi12d 320	. . . . 5
17		seqof2.3	. . . . . . . 8
18	17	sselda 3503	. . . . . . 7
19	1	adantr 465	. . . . . . . 8
20		mptexg 6142	. . . . . . . 8
21	19, 20	syl 16	. . . . . . 7
22		eqid 2457	. . . . . . . 8
23	22	fvmpt2 5963	. . . . . . 7
24	18, 21, 23	syl2anc 661	. . . . . 6
25	18	adantr 465	. . . . . . . 8
26		simpll 753	. . . . . . . . 9
27		simpr 461	. . . . . . . . 9
28		seqof2.4	. . . . . . . . 9
29	26, 25, 27, 28	syl12anc 1226	. . . . . . . 8
30		eqid 2457	. . . . . . . . 9
31	30	fvmpt2 5963	. . . . . . . 8
32	25, 29, 31	syl2anc 661	. . . . . . 7
33	32	mpteq2dva 4538	. . . . . 6
34	24, 33	eqtr4d 2501	. . . . 5
35	9, 16, 34	chvar 2013	. . . 4
36		nfcv 2619	. . . . 5
37		nfcsb1v 3450	. . . . . 6
38		nfcv 2619	. . . . . 6
39	37, 38	nffv 5878	. . . . 5
40		csbeq1a 3443	. . . . . 6
41	40	fveq1d 5873	. . . . 5
42	36, 39, 41	cbvmpt 4542	. . . 4
43	35, 42	syl6eq 2514	. . 3
44	1, 2, 43	seqof 12164	. 2
45		nfcv 2619	. . 3
46		nfcv 2619	. . . . 5
47		nfcv 2619	. . . . 5
48	46, 47, 37	nfseq 12117	. . . 4
49		nfcv 2619	. . . 4
50	48, 49	nffv 5878	. . 3
51	40	seqeq3d 12115	. . . 4
52	51	fveq1d 5873	. . 3
53	45, 50, 52	cbvmpt 4542	. 2
54	44, 53	syl6eqr 2516	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  oFcof 6538  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  mtestbdd  22800  lgamgulm2  28578  lgamcvglem  28582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108