MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem1 Unicode version

Theorem seqomlem1 7134
Description: Lemma for seqom. The underlying recursion generates a sequence of pairs with the expected first values. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seqomlem.a
Assertion
Ref Expression
seqomlem1
Distinct variable groups:   Q, ,   , ,   , ,

Proof of Theorem seqomlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . 3
2 id 22 . . . 4
31fveq2d 5875 . . . 4
42, 3opeq12d 4225 . . 3
51, 4eqeq12d 2479 . 2
6 fveq2 5871 . . 3
7 id 22 . . . 4
86fveq2d 5875 . . . 4
97, 8opeq12d 4225 . . 3
106, 9eqeq12d 2479 . 2
11 fveq2 5871 . . 3
12 id 22 . . . 4
1311fveq2d 5875 . . . 4
1412, 13opeq12d 4225 . . 3
1511, 14eqeq12d 2479 . 2
16 fveq2 5871 . . 3
17 id 22 . . . 4
1816fveq2d 5875 . . . 4
1917, 18opeq12d 4225 . . 3
2016, 19eqeq12d 2479 . 2
21 seqomlem.a . . . . 5
2221fveq1i 5872 . . . 4
23 opex 4716 . . . . 5
2423rdg0 7106 . . . 4
2522, 24eqtri 2486 . . 3
26 0ex 4582 . . . . . . 7
27 fvex 5881 . . . . . . 7
2826, 27op2nd 6809 . . . . . 6
2928eqcomi 2470 . . . . 5
3029opeq2i 4221 . . . 4
31 id 22 . . . 4
32 fveq2 5871 . . . . 5
3332opeq2d 4224 . . . 4
3430, 31, 333eqtr4a 2524 . . 3
3525, 34ax-mp 5 . 2
36 df-ov 6299 . . . . . 6
37 fvex 5881 . . . . . . 7
38 suceq 4948 . . . . . . . . 9
39 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
4038, 39opeq12d 4225 . . . . . . . 8
41 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
4241opeq2d 4224 . . . . . . . 8
43 eqid 2457 . . . . . . . 8
44 opex 4716 . . . . . . . 8
4540, 42, 43, 44ovmpt2 6438 . . . . . . 7
4637, 45mpan2 671 . . . . . 6
4736, 46syl5eqr 2512 . . . . 5
48 fveq2 5871 . . . . . 6
4948eqeq1d 2459 . . . . 5
5047, 49syl5ibrcom 222 . . . 4
51 vex 3112 . . . . . . . . . 10
5251sucex 6646 . . . . . . . . 9
53 ovex 6324 . . . . . . . . 9
5452, 53op2nd 6809 . . . . . . . 8
5554eqcomi 2470 . . . . . . 7
5655a1i 11 . . . . . 6
5756opeq2d 4224 . . . . 5
58 id 22 . . . . . 6
59 fveq2 5871 . . . . . . 7
6059opeq2d 4224 . . . . . 6
6158, 60eqeq12d 2479 . . . . 5
6257, 61syl5ibrcom 222 . . . 4
6350, 62syld 44 . . 3
64 frsuc 7121 . . . . 5
65 peano2 6720 . . . . . . 7
66 fvres 5885 . . . . . . 7
6765, 66syl 16 . . . . . 6
6821fveq1i 5872 . . . . . 6
6967, 68syl6eqr 2516 . . . . 5
70 fvres 5885 . . . . . . 7
7121fveq1i 5872 . . . . . . 7
7270, 71syl6eqr 2516 . . . . . 6
7372fveq2d 5875 . . . . 5
7464, 69, 733eqtr3d 2506 . . . 4
7574fveq2d 5875 . . . . 5
7675opeq2d 4224 . . . 4
7774, 76eqeq12d 2479 . . 3
7863, 77sylibrd 234 . 2
795, 10, 15, 20, 35, 78finds 6726 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784  <.cop 4035   cid 4795  succsuc 4885  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   c2nd 6799  reccrdg 7094
This theorem is referenced by:  seqomlem2  7135  seqomlem4  7137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator