MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem2 Unicode version

Theorem seqomlem2 7135
Description: Lemma for seqom. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seqomlem.a
Assertion
Ref Expression
seqomlem2
Distinct variable groups:   Q, ,   , ,

Proof of Theorem seqomlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7119 . . . . . . 7
2 seqomlem.a . . . . . . . . 9
32reseq1i 5274 . . . . . . . 8
43fneq1i 5680 . . . . . . 7
51, 4mpbir 209 . . . . . 6
6 fvres 5885 . . . . . . . . 9
72seqomlem1 7134 . . . . . . . . 9
86, 7eqtrd 2498 . . . . . . . 8
9 fvex 5881 . . . . . . . . 9
10 opelxpi 5036 . . . . . . . . 9
119, 10mpan2 671 . . . . . . . 8
128, 11eqeltrd 2545 . . . . . . 7
1312rgen 2817 . . . . . 6
14 ffnfv 6057 . . . . . 6
155, 13, 14mpbir2an 920 . . . . 5
16 frn 5742 . . . . 5
1715, 16ax-mp 5 . . . 4
18 df-br 4453 . . . . . . . . . 10
19 fvelrnb 5920 . . . . . . . . . . 11
205, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
21 fvres 5885 . . . . . . . . . . . 12
2221eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
2322rexbiia 2958 . . . . . . . . . 10
2418, 20, 233bitri 271 . . . . . . . . 9
252seqomlem1 7134 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
28 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
3028, 29opth1 4725 . . . . . . . . . . . . . 14
3127, 30syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13
32 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14
3433biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 34syli 37 . . . . . . . . . . . 12
36 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
37 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
38 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38op2nd 6809 . . . . . . . . . . . . 13
4036, 39syl6req 2515 . . . . . . . . . . . 12
4135, 40syl6 33 . . . . . . . . . . 11
4241rexlimdva 2949 . . . . . . . . . 10
432seqomlem1 7134 . . . . . . . . . . . 12
4432eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
4544rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12
4643, 45mpdan 668 . . . . . . . . . . 11
47 opeq2 4218 . . . . . . . . . . . . 13
4847eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
4948rexbidv 2968 . . . . . . . . . . 11
5046, 49syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10
5142, 50impbid 191 . . . . . . . . 9
5224, 51syl5bb 257 . . . . . . . 8
5352alrimiv 1719 . . . . . . 7
54 fvex 5881 . . . . . . . 8
55 eqeq2 2472 . . . . . . . . . 10
5655bibi2d 318 . . . . . . . . 9
5756albidv 1713 . . . . . . . 8
5854, 57spcev 3201 . . . . . . 7
5953, 58syl 16 . . . . . 6
60 df-eu 2286 . . . . . 6
6159, 60sylibr 212 . . . . 5
6261rgen 2817 . . . 4
63 dff3 6044 . . . 4
6417, 62, 63mpbir2an 920 . . 3
65 df-ima 5017 . . . 4
6665feq1i 5728 . . 3
6764, 66mpbir 209 . 2
68 dffn2 5737 . 2
6967, 68mpbir 209 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452   cid 4795  succsuc 4885  X.cxp 5002  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   c2nd 6799  reccrdg 7094
This theorem is referenced by:  seqomlem3  7136  seqomlem4  7137  fnseqom  7139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator