MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqomlem4 Unicode version

Theorem seqomlem4 7137
Description: Lemma for seqom. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
seqomlem.a
Assertion
Ref Expression
seqomlem4
Distinct variable groups:   Q, ,   , ,   , ,

Proof of Theorem seqomlem4
StepHypRef Expression
1 peano2 6720 . . . . . . 7
2 fvres 5885 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 frsuc 7121 . . . . . . . 8
5 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
61, 5syl 16 . . . . . . . . 9
7 seqomlem.a . . . . . . . . . 10
87fveq1i 5872 . . . . . . . . 9
96, 8syl6eqr 2516 . . . . . . . 8
10 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
117fveq1i 5872 . . . . . . . . . 10
1210, 11syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9
1312fveq2d 5875 . . . . . . . 8
144, 9, 133eqtr3d 2506 . . . . . . 7
157seqomlem1 7134 . . . . . . . 8
1615fveq2d 5875 . . . . . . 7
17 df-ov 6299 . . . . . . . 8
18 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
19 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
20 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20opeq12d 4225 . . . . . . . . . . 11
22 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
2322opeq2d 4224 . . . . . . . . . . 11
24 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
25 opex 4716 . . . . . . . . . . 11
2621, 23, 24, 25ovmpt2 6438 . . . . . . . . . 10
2718, 26mpan2 671 . . . . . . . . 9
28 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928, 15eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 frfnom 7119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
317reseq1i 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3231fneq1i 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3330, 32mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
34 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3533, 34mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3629, 35eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 df-ima 5017 . . . . . . . . . . . . . . 15
3836, 37syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . 14
39 df-br 4453 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
417seqomlem2 7135 . . . . . . . . . . . . . 14
42 fnbrfvb 5913 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
4440, 43mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
4544eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11
4645oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
4746opeq2d 4224 . . . . . . . . 9
4827, 47eqtrd 2498 . . . . . . . 8
4917, 48syl5eqr 2512 . . . . . . 7
5014, 16, 493eqtrd 2502 . . . . . 6
513, 50eqtrd 2498 . . . . 5
52 fnfvelrn 6028 . . . . . 6
5333, 1, 52sylancr 663 . . . . 5
5451, 53eqeltrrd 2546 . . . 4
5554, 37syl6eleqr 2556 . . 3
56 df-br 4453 . . 3
5755, 56sylibr 212 . 2
58 fnbrfvb 5913 . . 3
5941, 1, 58sylancr 663 . 2
6057, 59mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452   cid 4795  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   c2nd 6799  reccrdg 7094
This theorem is referenced by:  seqomsuc  7141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator