MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1 Unicode version

Theorem seqp1 12122
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqp1

Proof of Theorem seqp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11115 . . 3
2 fveq2 5871 . . . . . 6
32eleq2d 2527 . . . . 5
4 seqeq1 12110 . . . . . . 7
54fveq1d 5873 . . . . . 6
64fveq1d 5873 . . . . . . 7
76oveq2d 6312 . . . . . 6
85, 7eqeq12d 2479 . . . . 5
93, 8imbi12d 320 . . . 4
10 0z 10900 . . . . . 6
1110elimel 4004 . . . . 5
12 eqid 2457 . . . . 5
13 fvex 5881 . . . . 5
14 eqid 2457 . . . . 5
1514seqval 12118 . . . . 5
1611, 12, 13, 14, 15uzrdgsuci 12071 . . . 4
179, 16dedth 3993 . . 3
181, 17mpcom 36 . 2
19 elex 3118 . . 3
20 fvex 5881 . . 3
21 oveq1 6303 . . . . . 6
2221fveq2d 5875 . . . . 5
2322oveq2d 6312 . . . 4
24 oveq1 6303 . . . 4
25 eqid 2457 . . . 4
26 ovex 6324 . . . 4
2723, 24, 25, 26ovmpt2 6438 . . 3
2819, 20, 27sylancl 662 . 2
2918, 28eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  ifcif 3941  <.cop 4035  e.cmpt 4510  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  reccrdg 7094  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  seqp1i  12123  seqm1  12124  seqcl2  12125  seqfveq2  12129  seqshft2  12133  sermono  12139  seqsplit  12140  seqcaopr3  12142  seqf1olem2a  12145  seqf1olem2  12147  seqid2  12153  seqhomo  12154  ser1const  12163  expp1  12173  facp1  12358  seqcoll  12512  climserle  13485  iseraltlem2  13505  iseraltlem3  13506  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  clim2prod  13697  prodfn0  13703  prodfrec  13704  ntrivcvgfvn0  13708  ruclem7  13969  sadcp1  14105  smupp1  14130  seq1st  14200  algrp1  14203  eulerthlem2  14312  pcmpt  14411  gsumprval  15908  mulgnnp1  16150  ovolunlem1a  21907  voliunlem1  21960  volsup  21966  dvnp1  22328  bposlem5  23563  gxnn0suc  25266  opsqrlem5  27063  esumfzf  28075  esumpcvgval  28084  sseqp1  28334  rrvsum  28393  gsumnunsn  28493  relexpsucr  29053  iprodefisumlem  29123  faclimlem1  29168  heiborlem4  30310  heiborlem6  30312  fmul01  31574  fmuldfeqlem1  31576  stoweidlem3  31785  wallispilem4  31850  wallispi2lem1  31853  wallispi2lem2  31854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator