MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1 Unicode version

Theorem seqp1 11762
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqp1

Proof of Theorem seqp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10811 . . 3
2 fveq2 5661 . . . . . 6
32eleq2d 2489 . . . . 5
4 seqeq1 11750 . . . . . . 7
54fveq1d 5663 . . . . . 6
64fveq1d 5663 . . . . . . 7
76oveq2d 6077 . . . . . 6
85, 7eqeq12d 2436 . . . . 5
93, 8imbi12d 314 . . . 4
10 0z 10602 . . . . . 6
1110elimel 3829 . . . . 5
12 eqid 2422 . . . . 5
13 fvex 5671 . . . . 5
14 eqid 2422 . . . . 5
1514seqval 11758 . . . . 5
1611, 12, 13, 14, 15uzrdgsuci 11724 . . . 4
179, 16dedth 3818 . . 3
181, 17mpcom 35 . 2
19 elex 2960 . . 3
20 fvex 5671 . . 3
21 oveq1 6068 . . . . . 6
2221fveq2d 5665 . . . . 5
2322oveq2d 6077 . . . 4
24 oveq1 6068 . . . 4
25 eqid 2422 . . . 4
26 ovex 6086 . . . 4
2723, 24, 25, 26ovmpt2 6196 . . 3
2819, 20, 27sylancl 647 . 2
2918, 28eqtrd 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  ifcif 3768  <.cop 3856  e.cmpt 4325  |`cres 4813  `cfv 5390  (class class class)co 6061  e.cmpt2 6063   com 6446  reccrdg 6824  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cz 10591   cuz 10806  seqcseq 11747
This theorem is referenced by:  seqp1i  11763  seqm1  11764  seqcl2  11765  seqfveq2  11769  seqshft2  11773  sermono  11779  seqsplit  11780  seqcaopr3  11782  seqf1olem2a  11785  seqf1olem2  11787  seqid2  11793  seqhomo  11794  ser1const  11803  expp1  11813  facp1  11997  seqcoll  12157  climserle  13081  iseraltlem2  13101  iseraltlem3  13102  climcndslem1  13252  climcndslem2  13253  ruclem7  13458  sadcp1  13591  smupp1  13616  seq1st  13686  algrp1  13689  eulerthlem2  13797  pcmpt  13894  gsumprval  15451  mulgnnp1  15572  ovolunlem1a  20679  voliunlem1  20731  volsup  20737  dvnp1  21099  bposlem5  22368  gxnn0suc  23430  opsqrlem5  25227  esumfzf  26227  esumpcvgval  26236  sseqp1  26481  rrvsum  26540  gsumnunsn  26640  relexpsucr  27034  clim2prod  27105  prodfn0  27111  prodfrec  27112  ntrivcvgfvn0  27116  iprodefisumlem  27206  faclimlem1  27251  heiborlem4  28384  heiborlem6  28386  fmul01  29434  fmuldfeqlem1  29436  stoweidlem3  29472  wallispilem4  29537  wallispi2lem1  29540  wallispi2lem2  29541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-seq 11748
  Copyright terms: Public domain W3C validator