MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1 Unicode version

Theorem seqp1 11978
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqp1

Proof of Theorem seqp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11005 . . 3
2 fveq2 5813 . . . . . 6
32eleq2d 2524 . . . . 5
4 seqeq1 11966 . . . . . . 7
54fveq1d 5815 . . . . . 6
64fveq1d 5815 . . . . . . 7
76oveq2d 6238 . . . . . 6
85, 7eqeq12d 2476 . . . . 5
93, 8imbi12d 320 . . . 4
10 0z 10795 . . . . . 6
1110elimel 3968 . . . . 5
12 eqid 2454 . . . . 5
13 fvex 5823 . . . . 5
14 eqid 2454 . . . . 5
1514seqval 11974 . . . . 5
1611, 12, 13, 14, 15uzrdgsuci 11928 . . . 4
179, 16dedth 3957 . . 3
181, 17mpcom 36 . 2
19 elex 3090 . . 3
20 fvex 5823 . . 3
21 oveq1 6229 . . . . . 6
2221fveq2d 5817 . . . . 5
2322oveq2d 6238 . . . 4
24 oveq1 6229 . . . 4
25 eqid 2454 . . . 4
26 ovex 6247 . . . 4
2723, 24, 25, 26ovmpt2 6359 . . 3
2819, 20, 27sylancl 662 . 2
2918, 28eqtrd 2495 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  ifcif 3905  <.cop 3999  e.cmpt 4467  |`cres 4959  `cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224   com 6609  reccrdg 6999  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cz 10784   cuz 11000  seqcseq 11963
This theorem is referenced by:  seqp1i  11979  seqm1  11980  seqcl2  11981  seqfveq2  11985  seqshft2  11989  sermono  11995  seqsplit  11996  seqcaopr3  11998  seqf1olem2a  12001  seqf1olem2  12003  seqid2  12009  seqhomo  12010  ser1const  12019  expp1  12029  facp1  12213  seqcoll  12374  climserle  13298  iseraltlem2  13318  iseraltlem3  13319  climcndslem1  13470  climcndslem2  13471  ruclem7  13676  sadcp1  13809  smupp1  13834  seq1st  13904  algrp1  13907  eulerthlem2  14015  pcmpt  14112  gsumprval  15673  mulgnnp1  15794  ovolunlem1a  21378  voliunlem1  21431  volsup  21437  dvnp1  21799  bposlem5  23027  gxnn0suc  24220  opsqrlem5  26017  esumfzf  26975  esumpcvgval  26984  sseqp1  27234  rrvsum  27293  gsumnunsn  27393  relexpsucr  27788  clim2prod  27859  prodfn0  27865  prodfrec  27866  ntrivcvgfvn0  27870  iprodefisumlem  27960  faclimlem1  28005  heiborlem4  29173  heiborlem6  29175  fmul01  30359  fmuldfeqlem1  30361  stoweidlem3  30532  wallispilem4  30597  wallispi2lem1  30600  wallispi2lem2  30601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-seq 11964
  Copyright terms: Public domain W3C validator