MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqshft Unicode version

Theorem seqshft 12918
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
seqshft.1
Assertion
Ref Expression
seqshft

Proof of Theorem seqshft
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfn 12119 . . 3
21adantr 465 . 2
3 zsubcl 10931 . . . . 5
4 seqfn 12119 . . . . 5
53, 4syl 16 . . . 4
6 zcn 10894 . . . . 5
76adantl 466 . . . 4
8 seqex 12109 . . . . 5
98shftfn 12906 . . . 4
105, 7, 9syl2anc 661 . . 3
11 simpr 461 . . . . . 6
12 shftuz 12902 . . . . . 6
1311, 3, 12syl2anc 661 . . . . 5
14 zcn 10894 . . . . . . 7
15 npcan 9852 . . . . . . 7
1614, 6, 15syl2an 477 . . . . . 6
1716fveq2d 5875 . . . . 5
1813, 17eqtrd 2498 . . . 4
1918fneq2d 5677 . . 3
2010, 19mpbid 210 . 2
21 negsub 9890 . . . . . . 7
2214, 6, 21syl2an 477 . . . . . 6
2322adantr 465 . . . . 5
2423seqeq1d 12113 . . . 4
25 eluzelcn 11121 . . . . 5
26 negsub 9890 . . . . 5
2725, 7, 26syl2anr 478 . . . 4
2824, 27fveq12d 5877 . . 3
29 simpr 461 . . . 4
30 znegcl 10924 . . . . 5
3130ad2antlr 726 . . . 4
32 elfzelz 11717 . . . . . . . . 9
3332zcnd 10995 . . . . . . . 8
34 seqshft.1 . . . . . . . . . 10
3534shftval 12907 . . . . . . . . 9
36 negsub 9890 . . . . . . . . . . 11
3736ancoms 453 . . . . . . . . . 10
3837fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
3935, 38eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
406, 33, 39syl2an 477 . . . . . . 7
4140ralrimiva 2871 . . . . . 6
4241ad2antlr 726 . . . . 5
4342r19.21bi 2826 . . . 4
4429, 31, 43seqshft2 12133 . . 3
458shftval 12907 . . . 4
467, 25, 45syl2an 477 . . 3
4728, 44, 463eqtr4d 2508 . 2
482, 20, 47eqfnfvd 5984 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cmin 9828  -ucneg 9829   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cshi 12899
This theorem is referenced by:  isershft  13486  cvgrat  13692  eftlub  13844  dvradcnv2  31252  binomcxplemnotnn0  31261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-shft 12900
  Copyright terms: Public domain W3C validator