MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqshft2 Unicode version

Theorem seqshft2 12133
Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqshft2.1
seqshft2.2
seqshft2.3
Assertion
Ref Expression
seqshft2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,M   ,   ,N

Proof of Theorem seqshft2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqshft2.1 . . 3
2 eluzfz2 11723 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 eleq1 2529 . . . . . 6
5 fveq2 5871 . . . . . . 7
6 oveq1 6303 . . . . . . . 8
76fveq2d 5875 . . . . . . 7
85, 7eqeq12d 2479 . . . . . 6
94, 8imbi12d 320 . . . . 5
109imbi2d 316 . . . 4
11 eleq1 2529 . . . . . 6
12 fveq2 5871 . . . . . . 7
13 oveq1 6303 . . . . . . . 8
1413fveq2d 5875 . . . . . . 7
1512, 14eqeq12d 2479 . . . . . 6
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5
1716imbi2d 316 . . . 4
18 eleq1 2529 . . . . . 6
19 fveq2 5871 . . . . . . 7
20 oveq1 6303 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5875 . . . . . . 7
2219, 21eqeq12d 2479 . . . . . 6
2318, 22imbi12d 320 . . . . 5
2423imbi2d 316 . . . 4
25 eleq1 2529 . . . . . 6
26 fveq2 5871 . . . . . . 7
27 oveq1 6303 . . . . . . . 8
2827fveq2d 5875 . . . . . . 7
2926, 28eqeq12d 2479 . . . . . 6
3025, 29imbi12d 320 . . . . 5
3130imbi2d 316 . . . 4
32 eluzfz1 11722 . . . . . . . . 9
331, 32syl 16 . . . . . . . 8
34 seqshft2.3 . . . . . . . . 9
3534ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
36 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
37 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
3837fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
3936, 38eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
4039rspcv 3206 . . . . . . . 8
4133, 35, 40sylc 60 . . . . . . 7
42 eluzel2 11115 . . . . . . . . 9
431, 42syl 16 . . . . . . . 8
44 seq1 12120 . . . . . . . 8
4543, 44syl 16 . . . . . . 7
46 seqshft2.2 . . . . . . . . 9
4743, 46zaddcld 10998 . . . . . . . 8
48 seq1 12120 . . . . . . . 8
4947, 48syl 16 . . . . . . 7
5041, 45, 493eqtr4d 2508 . . . . . 6
5150a1d 25 . . . . 5
5251a1i 11 . . . 4
53 peano2fzr 11728 . . . . . . . . . 10
5453adantl 466 . . . . . . . . 9
5554expr 615 . . . . . . . 8
5655imim1d 75 . . . . . . 7
57 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
58 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
59 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11
6146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
62 eluzadd 11138 . . . . . . . . . . . . . 14
6358, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
64 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12
66 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . . 15
6758, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
68 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 add32 9815 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7270, 71mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15
7368, 69, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
7467, 61, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
7574fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
76 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15
7735adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8079fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8178, 80eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15
8376, 77, 82sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14
8474fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
8583, 84eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
8685oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
8765, 75, 863eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11
8860, 87eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
8957, 88syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
9089expr 615 . . . . . . . 8
9190a2d 26 . . . . . . 7
9256, 91syld 44 . . . . . 6
9392expcom 435 . . . . 5
9493a2d 26 . . . 4
9510, 17, 24, 31, 52, 94uzind4 11168 . . 3
961, 95mpcom 36 . 2
973, 96mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12147  seqshft  12918  isercoll2  13491  fprodser  13756  gsumccat  16009  mulgnndir  16164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator