Theorem seqshft2 12133

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqshft2.1
seqshft2.2
seqshft2.3

Assertion

Ref	Expression
seqshft2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,M   ,   ,N

Proof of Theorem seqshft2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqshft2.1	. . 3
2		eluzfz2 11723	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		eleq1 2529	. . . . . 6
5		fveq2 5871	. . . . . . 7
6		oveq1 6303	. . . . . . . 8
7	6	fveq2d 5875	. . . . . . 7
8	5, 7	eqeq12d 2479	. . . . . 6
9	4, 8	imbi12d 320	. . . . 5
10	9	imbi2d 316	. . . 4
11		eleq1 2529	. . . . . 6
12		fveq2 5871	. . . . . . 7
13		oveq1 6303	. . . . . . . 8
14	13	fveq2d 5875	. . . . . . 7
15	12, 14	eqeq12d 2479	. . . . . 6
16	11, 15	imbi12d 320	. . . . 5
17	16	imbi2d 316	. . . 4
18		eleq1 2529	. . . . . 6
19		fveq2 5871	. . . . . . 7
20		oveq1 6303	. . . . . . . 8
21	20	fveq2d 5875	. . . . . . 7
22	19, 21	eqeq12d 2479	. . . . . 6
23	18, 22	imbi12d 320	. . . . 5
24	23	imbi2d 316	. . . 4
25		eleq1 2529	. . . . . 6
26		fveq2 5871	. . . . . . 7
27		oveq1 6303	. . . . . . . 8
28	27	fveq2d 5875	. . . . . . 7
29	26, 28	eqeq12d 2479	. . . . . 6
30	25, 29	imbi12d 320	. . . . 5
31	30	imbi2d 316	. . . 4
32		eluzfz1 11722	. . . . . . . . 9
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . 8
34		seqshft2.3	. . . . . . . . 9
35	34	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8
36		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
37		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11
38	37	fveq2d 5875	. . . . . . . . . 10
39	36, 38	eqeq12d 2479	. . . . . . . . 9
40	39	rspcv 3206	. . . . . . . 8
41	33, 35, 40	sylc 60	. . . . . . 7
42		eluzel2 11115	. . . . . . . . 9
43	1, 42	syl 16	. . . . . . . 8
44		seq1 12120	. . . . . . . 8
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7
46		seqshft2.2	. . . . . . . . 9
47	43, 46	zaddcld 10998	. . . . . . . 8
48		seq1 12120	. . . . . . . 8
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7
50	41, 45, 49	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
51	50	a1d 25	. . . . 5
52	51	a1i 11	. . . 4
53		peano2fzr 11728	. . . . . . . . . 10
54	53	adantl 466	. . . . . . . . 9
55	54	expr 615	. . . . . . . 8
56	55	imim1d 75	. . . . . . 7
57		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10
58		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12
59		seqp1 12122	. . . . . . . . . . . 12
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . 11
61	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
62		eluzadd 11138	. . . . . . . . . . . . . 14
63	58, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
64		seqp1 12122	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
66		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	58, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
68		zcn 10894	. . . . . . . . . . . . . . 15
69		zcn 10894	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71		add32 9815	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72	70, 71	mp3an2 1312	. . . . . . . . . . . . . . 15
73	68, 69, 72	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14
74	67, 61, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
75	74	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . 12
76		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80	79	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81	78, 80	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82	81	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . 15
83	76, 77, 82	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14
84	74	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14
85	83, 84	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13
86	85	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
87	65, 75, 86	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11
88	60, 87	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10
89	57, 88	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9
90	89	expr 615	. . . . . . . 8
91	90	a2d 26	. . . . . . 7
92	56, 91	syld 44	. . . . . 6
93	92	expcom 435	. . . . 5
94	93	a2d 26	. . . 4
95	10, 17, 24, 31, 52, 94	uzind4 11168	. . 3
96	1, 95	mpcom 36	. 2
97	3, 96	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  seqf1olem2  12147  seqshft  12918  isercoll2  13491  fprodser  13756  gsumccat  16009  mulgnndir  16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108