MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqsplit Unicode version

Theorem seqsplit 12140
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqsplit.1
seqsplit.2
seqsplit.3
seqsplit.4
seqsplit.5
Assertion
Ref Expression
seqsplit
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   ,M, ,   , , ,   ,N, ,   , , ,   ,S, ,

Proof of Theorem seqsplit
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqsplit.3 . . 3
2 eluzfz2 11723 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 eleq1 2529 . . . . . 6
5 fveq2 5871 . . . . . . 7
6 fveq2 5871 . . . . . . . 8
76oveq2d 6312 . . . . . . 7
85, 7eqeq12d 2479 . . . . . 6
94, 8imbi12d 320 . . . . 5
109imbi2d 316 . . . 4
11 eleq1 2529 . . . . . 6
12 fveq2 5871 . . . . . . 7
13 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1413oveq2d 6312 . . . . . . 7
1512, 14eqeq12d 2479 . . . . . 6
1611, 15imbi12d 320 . . . . 5
1716imbi2d 316 . . . 4
18 eleq1 2529 . . . . . 6
19 fveq2 5871 . . . . . . 7
20 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6312 . . . . . . 7
2219, 21eqeq12d 2479 . . . . . 6
2318, 22imbi12d 320 . . . . 5
2423imbi2d 316 . . . 4
25 eleq1 2529 . . . . . 6
26 fveq2 5871 . . . . . . 7
27 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2827oveq2d 6312 . . . . . . 7
2926, 28eqeq12d 2479 . . . . . 6
3025, 29imbi12d 320 . . . . 5
3130imbi2d 316 . . . 4
32 seqsplit.4 . . . . . . . 8
33 seqp1 12122 . . . . . . . 8
3432, 33syl 16 . . . . . . 7
35 eluzel2 11115 . . . . . . . . 9
36 seq1 12120 . . . . . . . . 9
371, 35, 363syl 20 . . . . . . . 8
3837oveq2d 6312 . . . . . . 7
3934, 38eqtr4d 2501 . . . . . 6
4039a1d 25 . . . . 5
4140a1i 11 . . . 4
42 peano2fzr 11728 . . . . . . . . . 10
4342adantl 466 . . . . . . . . 9
4443expr 615 . . . . . . . 8
4544imim1d 75 . . . . . . 7
46 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
47 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13
48 peano2uz 11163 . . . . . . . . . . . . . . 15
4932, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
51 uztrn 11126 . . . . . . . . . . . . 13
5247, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
53 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11
55 seqp1 12122 . . . . . . . . . . . . . 14
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5756oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
58 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
59 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6032, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61 peano2uzr 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6260, 1, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63 fzss2 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 seqsplit.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 seqsplit.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
6932, 67, 68seqcl 12127 . . . . . . . . . . . . . 14
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
71 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 fzss2 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7343, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 fzss1 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7532, 48, 743syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7773, 76sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
7966adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
8168adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
8247, 80, 81seqcl 12127 . . . . . . . . . . . . 13
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15
8575, 83, 84syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
8666ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
88 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
9185, 87, 90sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
92 seqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14
9392caovassg 6473 . . . . . . . . . . . . 13
9458, 70, 82, 91, 93syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12
9557, 94eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
9654, 95eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
9746, 96syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
9897expr 615 . . . . . . . 8
9998a2d 26 . . . . . . 7
10045, 99syld 44 . . . . . 6
101100expcom 435 . . . . 5
102101a2d 26 . . . 4
10310, 17, 24, 31, 41, 102uzind4 11168 . . 3
1041, 103mpcom 36 . 2
1053, 104mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  seq1p  12141  seqf1olem2  12147  bcval5  12396  clim2ser  13477  clim2ser2  13478  isumsplit  13652  clim2div  13698  gsumccat  16009  mulgnndir  16164  mblfinlem2  30052  fmul01lt1lem1  31578  fmul01lt1lem2  31579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator