Theorem seqsplit 12140

Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqsplit.1
seqsplit.2
seqsplit.3
seqsplit.4
seqsplit.5

Assertion

Ref	Expression
seqsplit

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,M,,   ,,,   ,N,,   ,,,   ,S,,

Proof of Theorem seqsplit

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqsplit.3	. . 3
2		eluzfz2 11723	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		eleq1 2529	. . . . . 6
5		fveq2 5871	. . . . . . 7
6		fveq2 5871	. . . . . . . 8
7	6	oveq2d 6312	. . . . . . 7
8	5, 7	eqeq12d 2479	. . . . . 6
9	4, 8	imbi12d 320	. . . . 5
10	9	imbi2d 316	. . . 4
11		eleq1 2529	. . . . . 6
12		fveq2 5871	. . . . . . 7
13		fveq2 5871	. . . . . . . 8
14	13	oveq2d 6312	. . . . . . 7
15	12, 14	eqeq12d 2479	. . . . . 6
16	11, 15	imbi12d 320	. . . . 5
17	16	imbi2d 316	. . . 4
18		eleq1 2529	. . . . . 6
19		fveq2 5871	. . . . . . 7
20		fveq2 5871	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6312	. . . . . . 7
22	19, 21	eqeq12d 2479	. . . . . 6
23	18, 22	imbi12d 320	. . . . 5
24	23	imbi2d 316	. . . 4
25		eleq1 2529	. . . . . 6
26		fveq2 5871	. . . . . . 7
27		fveq2 5871	. . . . . . . 8
28	27	oveq2d 6312	. . . . . . 7
29	26, 28	eqeq12d 2479	. . . . . 6
30	25, 29	imbi12d 320	. . . . 5
31	30	imbi2d 316	. . . 4
32		seqsplit.4	. . . . . . . 8
33		seqp1 12122	. . . . . . . 8
34	32, 33	syl 16	. . . . . . 7
35		eluzel2 11115	. . . . . . . . 9
36		seq1 12120	. . . . . . . . 9
37	1, 35, 36	3syl 20	. . . . . . . 8
38	37	oveq2d 6312	. . . . . . 7
39	34, 38	eqtr4d 2501	. . . . . 6
40	39	a1d 25	. . . . 5
41	40	a1i 11	. . . 4
42		peano2fzr 11728	. . . . . . . . . 10
43	42	adantl 466	. . . . . . . . 9
44	43	expr 615	. . . . . . . 8
45	44	imim1d 75	. . . . . . 7
46		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10
47		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13
48		peano2uz 11163	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	32, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
51		uztrn 11126	. . . . . . . . . . . . 13
52	47, 50, 51	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
53		seqp1 12122	. . . . . . . . . . . 12
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . 11
55		seqp1 12122	. . . . . . . . . . . . . 14
56	47, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
57	56	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
58		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13
59		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60	32, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
61		peano2uzr 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62	60, 1, 61	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63		fzss2 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66		seqsplit.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	65, 66	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . 15
68		seqsplit.1	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	32, 67, 68	seqcl 12127	. . . . . . . . . . . . . 14
70	69	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
71		elfzuz3 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72		fzss2 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	43, 71, 72	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74		fzss1 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75	32, 48, 74	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	73, 76	sstrd 3513	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	77	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	66	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	78, 79	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14
81	68	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14
82	47, 80, 81	seqcl 12127	. . . . . . . . . . . . 13
83		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15
84		ssel2 3498	. . . . . . . . . . . . . . 15
85	75, 83, 84	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14
86	66	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14
88		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	89	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . 14
91	85, 87, 90	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13
92		seqsplit.2	. . . . . . . . . . . . . 14
93	92	caovassg 6473	. . . . . . . . . . . . 13
94	58, 70, 82, 91, 93	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . 12
95	57, 94	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11
96	54, 95	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10
97	46, 96	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9
98	97	expr 615	. . . . . . . 8
99	98	a2d 26	. . . . . . 7
100	45, 99	syld 44	. . . . . 6
101	100	expcom 435	. . . . 5
102	101	a2d 26	. . . 4
103	10, 17, 24, 31, 41, 102	uzind4 11168	. . 3
104	1, 103	mpcom 36	. 2
105	3, 104	mpd 15	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296  1c1 9514  caddc 9516  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107

This theorem is referenced by:  seq1p  12141  seqf1olem2  12147  bcval5  12396  clim2ser  13477  clim2ser2  13478  isumsplit  13652  clim2div  13698  gsumccat  16009  mulgnndir  16164  mblfinlem2  30052  fmul01lt1lem1  31578  fmul01lt1lem2  31579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108