MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqz Unicode version

Theorem seqz 12155
Description: If the operation has an absorbing element (a.k.a. zero element), then any sequence containing a evaluates to . (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1
seqhomo.2
seqz.3
seqz.4
seqz.5
seqz.6
seqz.7
Assertion
Ref Expression
seqz
Distinct variable groups:   , ,   ,M,   ,N,   , ,   , ,   , ,   ,S,   , ,

Proof of Theorem seqz
StepHypRef Expression
1 seqz.5 . . . 4
2 elfzuz 11713 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 eluzelz 11119 . . . . . . . . 9
53, 4syl 16 . . . . . . . 8
6 seq1 12120 . . . . . . . 8
75, 6syl 16 . . . . . . 7
8 seqz.7 . . . . . . 7
97, 8eqtrd 2498 . . . . . 6
10 seqeq1 12110 . . . . . . . 8
1110fveq1d 5873 . . . . . . 7
1211eqeq1d 2459 . . . . . 6
139, 12syl5ibcom 220 . . . . 5
14 eluzel2 11115 . . . . . . . . 9
153, 14syl 16 . . . . . . . 8
16 seqm1 12124 . . . . . . . 8
1715, 16sylan 471 . . . . . . 7
188adantr 465 . . . . . . . . 9
1918oveq2d 6312 . . . . . . . 8
20 eluzp1m1 11133 . . . . . . . . . . 11
2115, 20sylan 471 . . . . . . . . . 10
22 fzssp1 11755 . . . . . . . . . . . . . . 15
235zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 npcan 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2623, 24, 25sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
2822, 27syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . . . . 14
29 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
301, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 fzss2 11752 . . . . . . . . . . . . . . 15
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3328, 32sstrd 3513 . . . . . . . . . . . . 13
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
3534sselda 3503 . . . . . . . . . . 11
36 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . 12
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
3835, 37syldan 470 . . . . . . . . . 10
39 seqhomo.1 . . . . . . . . . . 11
4039adantlr 714 . . . . . . . . . 10
4121, 38, 40seqcl 12127 . . . . . . . . 9
42 seqz.4 . . . . . . . . . . 11
4342ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10
4443adantr 465 . . . . . . . . 9
45 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
4645eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
4746rspcv 3206 . . . . . . . . 9
4841, 44, 47sylc 60 . . . . . . . 8
4919, 48eqtrd 2498 . . . . . . 7
5017, 49eqtrd 2498 . . . . . 6
5150ex 434 . . . . 5
52 uzp1 11143 . . . . . 6
533, 52syl 16 . . . . 5
5413, 51, 53mpjaod 381 . . . 4
5554, 8eqtr4d 2501 . . 3
56 eqidd 2458 . . 3
573, 55, 30, 56seqfveq2 12129 . 2
58 fvex 5881 . . . . . 6
5958elsnc 4053 . . . . 5
608, 59sylibr 212 . . . 4
61 simprl 756 . . . . . . . 8
62 elsn 4043 . . . . . . . 8
6361, 62sylib 196 . . . . . . 7
6463oveq1d 6311 . . . . . 6
65 simprr 757 . . . . . . 7
66 seqz.3 . . . . . . . . 9
6766ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
6867adantr 465 . . . . . . 7
69 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
7069eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
7170rspcv 3206 . . . . . . 7
7265, 68, 71sylc 60 . . . . . 6
7364, 72eqtrd 2498 . . . . 5
74 ovex 6324 . . . . . 6
7574elsnc 4053 . . . . 5
7673, 75sylibr 212 . . . 4
77 peano2uz 11163 . . . . . . . 8
783, 77syl 16 . . . . . . 7
79 fzss1 11751 . . . . . . 7
8078, 79syl 16 . . . . . 6
8180sselda 3503 . . . . 5
8281, 36syldan 470 . . . 4
8360, 76, 30, 82seqcl2 12125 . . 3
84 elsni 4054 . . 3
8583, 84syl 16 . 2
8657, 85eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  {csn 4029  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  bcval5  12396  elqaalem2  22716  lgsne0  23608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator