MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  serf0 Unicode version

Theorem serf0 13503
Description: If an infinite series converges, its underlying sequence converges to zero. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgb.1
serf0.2
serf0.3
serf0.4
serf0.5
Assertion
Ref Expression
serf0
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,   ,   ,

Proof of Theorem serf0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serf0.4 . . . . 5
2 serf0.2 . . . . . 6
3 caucvgb.1 . . . . . . 7
43caucvgb 13502 . . . . . 6
52, 1, 4syl2anc 661 . . . . 5
61, 5mpbid 210 . . . 4
73cau3 13188 . . . 4
86, 7sylib 196 . . 3
93peano2uzs 11164 . . . . . . 7
109adantl 466 . . . . . 6
11 eluzelz 11119 . . . . . . . . . 10
12 uzid 11124 . . . . . . . . . 10
13 peano2uz 11163 . . . . . . . . . 10
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
1514oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
1615fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
1716breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
1817rspcv 3206 . . . . . . . . . 10
1911, 12, 13, 184syl 21 . . . . . . . . 9
2019adantld 467 . . . . . . . 8
2120ralimia 2848 . . . . . . 7
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
2322, 3syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12
24 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11
26 eluzp1m1 11133 . . . . . . . . . . 11
2725, 26sylan 471 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
29 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
3128, 30oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13
3231fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
3332breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
3433rspcv 3206 . . . . . . . . . 10
3527, 34syl 16 . . . . . . . . 9
36 serf0.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
373, 2, 36serf 12135 . . . . . . . . . . . . . 14
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
393uztrn2 11127 . . . . . . . . . . . . . . 15
4022, 39sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14
4127, 40syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
4238, 41ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . 12
433uztrn2 11127 . . . . . . . . . . . . . 14
4410, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
4538, 44ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . 12
4642, 45abssubd 13284 . . . . . . . . . . 11
47 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 npcan 9852 . . . . . . . . . . . . . . 15
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
5352fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
5453oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
5554fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
562ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 eluzp1p1 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5823, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059uztrn2 11127 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6158, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 seqm1 12124 . . . . . . . . . . . . . . 15
6356, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
6463oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
6536adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
6644, 65syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
6742, 66pncan2d 9956 . . . . . . . . . . . . 13
6864, 67eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . 12
6968fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
7046, 55, 693eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
7170breq1d 4462 . . . . . . . . 9
7235, 71sylibd 214 . . . . . . . 8
7372ralrimdva 2875 . . . . . . 7
7421, 73syl5 32 . . . . . 6
75 fveq2 5871 . . . . . . . 8
7675raleqdv 3060 . . . . . . 7
7776rspcev 3210 . . . . . 6
7810, 74, 77syl6an 545 . . . . 5
7978rexlimdva 2949 . . . 4
8079ralimdv 2867 . . 3
818, 80mpd 15 . 2
82 serf0.3 . . 3
83 eqidd 2458 . . 3
843, 2, 82, 83, 36clim0c 13330 . 2
8581, 84mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   crp 11249  seqcseq 12107   cabs 13067   cli 13307
This theorem is referenced by:  mertenslem2  13694  radcnvlem1  22808  dvgrat  31193  expfac  31663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator