Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sermono Unicode version

Theorem sermono 12139
 Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sermono.1
sermono.2
sermono.3
sermono.4
Assertion
Ref Expression
sermono
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem sermono
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sermono.2 . 2
2 elfzuz 11713 . . . 4
3 sermono.1 . . . 4
4 uztrn 11126 . . . 4
52, 3, 4syl2anr 478 . . 3
6 elfzuz3 11714 . . . . . . 7
76adantl 466 . . . . . 6
8 fzss2 11752 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
109sselda 3503 . . . 4
11 sermono.3 . . . . 5
1211adantlr 714 . . . 4
1310, 12syldan 470 . . 3
14 readdcl 9596 . . . 4
1514adantl 466 . . 3
165, 13, 15seqcl 12127 . 2
17 simpr 461 . . . . . . 7
183adantr 465 . . . . . . . . 9
19 eluzelz 11119 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8
211adantr 465 . . . . . . . . . 10
22 eluzelz 11119 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9
24 peano2zm 10932 . . . . . . . . 9
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8
26 elfzelz 11717 . . . . . . . . 9
2726adantl 466 . . . . . . . 8
28 1zzd 10920 . . . . . . . 8
29 fzaddel 11747 . . . . . . . 8
3020, 25, 27, 28, 29syl22anc 1229 . . . . . . 7
3117, 30mpbid 210 . . . . . 6
32 zcn 10894 . . . . . . . . 9
33 ax-1cn 9571 . . . . . . . . 9
34 npcan 9852 . . . . . . . . 9
3532, 33, 34sylancl 662 . . . . . . . 8
3623, 35syl 16 . . . . . . 7
3736oveq2d 6312 . . . . . 6
3831, 37eleqtrd 2547 . . . . 5
39 sermono.4 . . . . . . 7
4039ralrimiva 2871 . . . . . 6
4140adantr 465 . . . . 5
42 fveq2 5871 . . . . . . 7
4342breq2d 4464 . . . . . 6
4443rspcv 3206 . . . . 5
4538, 41, 44sylc 60 . . . 4
46 fzelp1 11761 . . . . . . . 8
4746adantl 466 . . . . . . 7
4836oveq2d 6312 . . . . . . 7
4947, 48eleqtrd 2547 . . . . . 6
5049, 16syldan 470 . . . . 5
51 fzss1 11751 . . . . . . . 8
5218, 51syl 16 . . . . . . 7
53 fzp1elp1 11762 . . . . . . . . 9
5453adantl 466 . . . . . . . 8
5554, 48eleqtrd 2547 . . . . . . 7
5652, 55sseldd 3504 . . . . . 6
5711ralrimiva 2871 . . . . . . 7
5857adantr 465 . . . . . 6
5942eleq1d 2526 . . . . . . 7
6059rspcv 3206 . . . . . 6
6156, 58, 60sylc 60 . . . . 5
6250, 61addge01d 10165 . . . 4
6345, 62mpbid 210 . . 3
6449, 5syldan 470 . . . 4
65 seqp1 12122 . . . 4
6664, 65syl 16 . . 3
6763, 66breqtrrd 4478 . 2
681, 16, 67monoord 12137 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cle 9650   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seq`cseq 12107 This theorem is referenced by:  cvgcmp  13630  isumsup2  13658  climcnds  13663  ovolunlem1a  21907  mblfinlem2  30052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
 Copyright terms: Public domain W3C validator