MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftfn Unicode version

Theorem shftfn 12906
Description: Functionality and domain of a sequence shifted by . (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1
Assertion
Ref Expression
shftfn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem shftfn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopab 5134 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 fnfun 5683 . . . . . 6
43adantr 465 . . . . 5
5 funmo 5609 . . . . . . 7
6 vex 3112 . . . . . . . . . 10
7 vex 3112 . . . . . . . . . 10
8 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
9 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12
109breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
118, 10anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
12 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
1312anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
156, 7, 11, 13, 14brab 4775 . . . . . . . . 9
1615simprbi 464 . . . . . . . 8
1716moimi 2340 . . . . . . 7
185, 17syl 16 . . . . . 6
1918alrimiv 1719 . . . . 5
204, 19syl 16 . . . 4
21 dffun6 5608 . . . 4
222, 20, 21sylanbrc 664 . . 3
23 shftfval.1 . . . . . 6
2423shftfval 12903 . . . . 5
2524adantl 466 . . . 4
2625funeqd 5614 . . 3
2722, 26mpbird 232 . 2
2823shftdm 12904 . . 3
29 fndm 5685 . . . . 5
3029eleq2d 2527 . . . 4
3130rabbidv 3101 . . 3
3228, 31sylan9eqr 2520 . 2
33 df-fn 5596 . 2
3427, 32, 33sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  E*wmo 2283  {crab 2811   cvv 3109   class class class wbr 4452  {copab 4509  domcdm 5004  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  (class class class)co 6296   cc 9511   cmin 9828   cshi 12899
This theorem is referenced by:  shftf  12912  seqshft  12918  uzmptshftfval  31251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-shft 12900
  Copyright terms: Public domain W3C validator