Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsplypnf Unicode version

Theorem signsplypnf 27407
Description: The quotient of a polynomial by a monic monomial of same degree converges to the highest coefficient of . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d
signsply0.c
signsply0.b
signsplypnf.g
Assertion
Ref Expression
signsplypnf
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem signsplypnf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumex 13323 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 sumex 13323 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 rpssre 11140 . . . . . . 7
65a1i 11 . . . . . 6
7 fzofi 11941 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 ovex 6247 . . . . . . 7
109a1i 11 . . . . . 6
11 fvex 5823 . . . . . . . . . 10
1211a1i 11 . . . . . . . . 9
13 ovex 6247 . . . . . . . . . 10
1413a1i 11 . . . . . . . . 9
15 signsply0.c . . . . . . . . . . . . 13
1615coef3 22100 . . . . . . . . . . . 12
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11
18 elfzouz 11702 . . . . . . . . . . . . 13
19 nn0uz 11034 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . 12
2120adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2217, 21ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . 10
23 rlimconst 13180 . . . . . . . . . 10
245, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . 9
2521nn0red 10775 . . . . . . . . . . . 12
26 signsply0.d . . . . . . . . . . . . . . 15
27 dgrcl 22101 . . . . . . . . . . . . . . 15
2826, 27syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . . 14
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
3029nn0red 10775 . . . . . . . . . . . 12
31 elfzolt2 11706 . . . . . . . . . . . . 13
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
33 difrp 11163 . . . . . . . . . . . . 13
3433biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12
3525, 30, 32, 34syl21anc 1218 . . . . . . . . . . 11
36 cxplim 22765 . . . . . . . . . . 11
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10
38 ax-resscn 9476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
395, 38sstri 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 rpgt0 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4443gt0ne0d 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4628nn0zd 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4920ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049nn0zd 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5148, 50zsubcld 10890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5242, 45, 51cxpexpzd 22556 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . . . 14
5442, 45, 51expnegd 12172 . . . . . . . . . . . . . 14
5548zcnd 10886 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5649nn0cnd 10776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5755, 56negsubdi2d 9872 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . . . 14
5953, 54, 583eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
6042, 45, 48, 50expsubd 12176 . . . . . . . . . . . . 13
6159, 60eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12
6261mpteq2dva 4495 . . . . . . . . . . 11
6362breq1d 4419 . . . . . . . . . 10
6437, 63mpbid 210 . . . . . . . . 9
6512, 14, 24, 64rlimmul 13280 . . . . . . . 8
6622mul01d 9705 . . . . . . . 8
6765, 66breqtrd 4433 . . . . . . 7
6816ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
6968, 49ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . 10
7042, 49expcld 12165 . . . . . . . . . 10
7128adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
7241, 71expcld 12165 . . . . . . . . . . 11
7372adantlr 714 . . . . . . . . . 10
7442, 45, 48expne0d 12171 . . . . . . . . . 10
7569, 70, 73, 74divassd 10279 . . . . . . . . 9
7675mpteq2dva 4495 . . . . . . . 8
7776breq1d 4419 . . . . . . 7
7867, 77mpbird 232 . . . . . 6
796, 8, 10, 78fsumrlim 13432 . . . . 5
808olcd 393 . . . . . 6
81 sumz 13357 . . . . . 6
8280, 81syl 16 . . . . 5
8379, 82breqtrd 4433 . . . 4
8416, 28ffvelrnd 5967 . . . . . . . . . . 11
8584adantr 465 . . . . . . . . . 10
8685, 72mulcld 9543 . . . . . . . . 9
8744adantl 466 . . . . . . . . . 10
8841, 87, 47expne0d 12171 . . . . . . . . 9
8986, 72, 88divcld 10244 . . . . . . . 8
90 fveq2 5813 . . . . . . . . . . 11
91 oveq2 6230 . . . . . . . . . . 11
9290, 91oveq12d 6240 . . . . . . . . . 10
9392oveq1d 6237 . . . . . . . . 9
9493sumsn 13375 . . . . . . . 8
9571, 89, 94syl2anc 661 . . . . . . 7
96 divcan4 10156 . . . . . . . 8
9785, 72, 88, 96syl3anc 1219 . . . . . . 7
9895, 97eqtrd 2495 . . . . . 6
9998mpteq2dva 4495 . . . . 5
100 rlimconst 13180 . . . . . 6
1016, 84, 100syl2anc 661 . . . . 5
10299, 101eqbrtrd 4429 . . . 4
1032, 4, 83, 102rlimadd 13278 . . 3
10484addid2d 9707 . . . 4
105 signsply0.b . . . 4
106104, 105syl6eqr 2513 . . 3
107103, 106breqtrd 4433 . 2
108 plyf 22066 . . . . . 6
109 ffn 5679 . . . . . 6
110108, 109syl 16 . . . . 5
111 ovex 6247 . . . . . . 7
112111rgenw 2903 . . . . . 6
113 signsplypnf.g . . . . . . 7
114113fnmpt 5656 . . . . . 6
115112, 114mp1i 12 . . . . 5
116 cnex 9500 . . . . . 6
117116a1i 11 . . . . 5
118 reex 9510 . . . . . . 7
119118, 5ssexi 4554 . . . . . 6
120119a1i 11 . . . . 5
121 dfss1 3669 . . . . . 6
12239, 121mpbi 208 . . . . 5
12315, 26coeid2 22107 . . . . 5
124113fvmpt2 5904 . . . . . . 7
125111, 124mpan2 671 . . . . . 6
126125adantl 466 . . . . 5
127110, 115, 117, 120, 122, 123, 126offval 6460 . . . 4
128 fzfid 11940 . . . . . . 7
12916ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
130 elfznn0 11626 . . . . . . . . . 10
131130adantl 466 . . . . . . . . 9
132129, 131ffvelrnd 5967 . . . . . . . 8
13341adantr 465 . . . . . . . . 9
134133, 131expcld 12165 . . . . . . . 8
135132, 134mulcld 9543 . . . . . . 7
136128, 72, 135, 88fsumdivc 13411 . . . . . 6
137 fzodisj 11728 . . . . . . . . 9
138 fzosn 11751 . . . . . . . . . 10
139138ineq2d 3666 . . . . . . . . 9
140137, 139syl5reqr 2510 . . . . . . . 8
14147, 140syl 16 . . . . . . 7
142 fzval3 11750 . . . . . . . . . 10
14346, 142syl 16 . . . . . . . . 9
14428, 19syl6eleq 2552 . . . . . . . . . 10
145 fzosplitsn 11778 . . . . . . . . . 10
146144, 145syl 16 . . . . . . . . 9
147143, 146eqtrd 2495 . . . . . . . 8
148147adantr 465 . . . . . . 7
14972adantr 465 . . . . . . . 8
15087adantr 465 . . . . . . . . 9
15147adantr 465 . . . . . . . . 9
152133, 150, 151expne0d 12171 . . . . . . . 8
153135, 149, 152divcld 10244 . . . . . . 7
154141, 148, 128, 153fsumsplit 13374 . . . . . 6
155136, 154eqtrd 2495 . . . . 5
156155mpteq2dva 4495 . . . 4
157127, 156eqtrd 2495 . . 3
158157breq1d 4419 . 2
159107, 158mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800   cvv 3081  u.cun 3440  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  {csn 3993   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  oFcof 6451   cfn 7444   cc 9417   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cmin 9732  -ucneg 9733   cdiv 10130   cn0 10717   cz 10784   cuz 11000   crp 11130   cfz 11582   cfzo 11693   cexp 12022   crli 13121  sum_csu 13321   cply 22052   ccoe 22054   cdgr 22055   ccxp 22407
This theorem is referenced by:  signsply0  27408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-ioc 11444  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-mod 11854  df-seq 11964  df-exp 12023  df-fac 12209  df-bc 12236  df-hash 12261  df-shft 12714  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-limsup 13107  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322  df-ef 13511  df-sin 13513  df-cos 13514  df-pi 13516  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-fbas 18007  df-fg 18008  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cld 19022  df-ntr 19023  df-cls 19024  df-nei 19101  df-lp 19139  df-perf 19140  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-haus 19318  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-fil 19818  df-fm 19910  df-flim 19911  df-flf 19912  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296  df-cncf 20853  df-0p 21548  df-limc 21741  df-dv 21742  df-ply 22056  df-coe 22058  df-dgr 22059  df-log 22408  df-cxp 22409
  Copyright terms: Public domain W3C validator