Theorem sin4lt0 13930

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 10710	. . . 4
2	1	fveq2i 5874	. . 3
3		2cn 10631	. . . 4
4		sin2t 13912	. . . 4
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3
6	2, 5	eqtr3i 2488	. 2
7		sincos2sgn 13929	. . . . . . 7
8	7	simpri 462	. . . . . 6
9		2re 10630	. . . . . . . 8
10		recoscl 13876	. . . . . . . 8
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7
12		0re 9617	. . . . . . 7
13		resincl 13875	. . . . . . . . 9
14	9, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8
15	7	simpli 458	. . . . . . . 8
16	14, 15	pm3.2i 455	. . . . . . 7
17		ltmul2 10418	. . . . . . 7
18	11, 12, 16, 17	mp3an 1324	. . . . . 6
19	8, 18	mpbi 208	. . . . 5
20	14	recni 9629	. . . . . 6
21	20	mul01i 9791	. . . . 5
22	19, 21	breqtri 4475	. . . 4
23	14, 11	remulcli 9631	. . . . 5
24		2pos 10652	. . . . . 6
25	9, 24	pm3.2i 455	. . . . 5
26		ltmul2 10418	. . . . 5
27	23, 12, 25, 26	mp3an 1324	. . . 4
28	22, 27	mpbi 208	. . 3
29	3	mul01i 9791	. . 3
30	28, 29	breqtri 4475	. 2
31	6, 30	eqbrtri 4471	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  clt 9649  2c2 10610  4c4 10612  csin 13799  ccos 13800

This theorem is referenced by:  pilem3  22848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ioc 11563  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805  df-cos 13806