MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinadd Unicode version

Theorem sinadd 13899
Description: Addition formula for sine. Equation 14 of [Gleason] p. 310. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinadd

Proof of Theorem sinadd
StepHypRef Expression
1 addcl 9595 . . 3
2 sinval 13857 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 2cn 10631 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
6 ax-icn 9572 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6
8 coscl 13862 . . . . . . . . 9
98adantr 465 . . . . . . . 8
10 sincl 13861 . . . . . . . . 9
1110adantl 466 . . . . . . . 8
129, 11mulcld 9637 . . . . . . 7
13 sincl 13861 . . . . . . . . 9
1413adantr 465 . . . . . . . 8
15 coscl 13862 . . . . . . . . 9
1615adantl 466 . . . . . . . 8
1714, 16mulcld 9637 . . . . . . 7
1812, 17addcld 9636 . . . . . 6
195, 7, 18mulassd 9640 . . . . 5
207, 12, 17adddid 9641 . . . . . . 7
217, 9, 11mul12d 9810 . . . . . . . 8
2214, 16mulcomd 9638 . . . . . . . . . 10
2322oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
247, 16, 14mul12d 9810 . . . . . . . . 9
2523, 24eqtrd 2498 . . . . . . . 8
2621, 25oveq12d 6314 . . . . . . 7
2720, 26eqtrd 2498 . . . . . 6
2827oveq2d 6312 . . . . 5
2919, 28eqtrd 2498 . . . 4
30 mulcl 9597 . . . . . . . . 9
316, 11, 30sylancr 663 . . . . . . . 8
329, 31mulcld 9637 . . . . . . 7
33 mulcl 9597 . . . . . . . . 9
346, 14, 33sylancr 663 . . . . . . . 8
3516, 34mulcld 9637 . . . . . . 7
3632, 35addcld 9636 . . . . . 6
37 mulcl 9597 . . . . . 6
384, 36, 37sylancr 663 . . . . 5
39 2mulicn 10787 . . . . . 6
4039a1i 11 . . . . 5
41 2muline0 10788 . . . . . 6
4241a1i 11 . . . . 5
4338, 40, 18, 42divmuld 10367 . . . 4
4429, 43mpbird 232 . . 3
459, 16mulcld 9637 . . . . . . 7
4631, 34mulcld 9637 . . . . . . 7
4745, 46addcld 9636 . . . . . 6
4847, 36, 36pnncand 9993 . . . . 5
49 adddi 9602 . . . . . . . . 9
506, 49mp3an1 1311 . . . . . . . 8
5150fveq2d 5875 . . . . . . 7
52 simpl 457 . . . . . . . . 9
53 mulcl 9597 . . . . . . . . 9
546, 52, 53sylancr 663 . . . . . . . 8
55 simpr 461 . . . . . . . . 9
56 mulcl 9597 . . . . . . . . 9
576, 55, 56sylancr 663 . . . . . . . 8
58 efadd 13829 . . . . . . . 8
5954, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . 7
60 efival 13887 . . . . . . . . 9
61 efival 13887 . . . . . . . . 9
6260, 61oveqan12d 6315 . . . . . . . 8
639, 34, 16, 31muladdd 10039 . . . . . . . 8
6462, 63eqtrd 2498 . . . . . . 7
6551, 59, 643eqtrd 2502 . . . . . 6
66 negicn 9844 . . . . . . . . 9
67 adddi 9602 . . . . . . . . 9
6866, 67mp3an1 1311 . . . . . . . 8
6968fveq2d 5875 . . . . . . 7
70 mulcl 9597 . . . . . . . . 9
7166, 52, 70sylancr 663 . . . . . . . 8
72 mulcl 9597 . . . . . . . . 9
7366, 55, 72sylancr 663 . . . . . . . 8
74 efadd 13829 . . . . . . . 8
7571, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . 7
76 efmival 13888 . . . . . . . . 9
77 efmival 13888 . . . . . . . . 9
7876, 77oveqan12d 6315 . . . . . . . 8
799, 34, 16, 31mulsubd 10040 . . . . . . . 8
8078, 79eqtrd 2498 . . . . . . 7
8169, 75, 803eqtrd 2502 . . . . . 6
8265, 81oveq12d 6314 . . . . 5
83362timesd 10806 . . . . 5
8448, 82, 833eqtr4d 2508 . . . 4
8584oveq1d 6311 . . 3
8617, 12addcomd 9803 . . 3
8744, 85, 863eqtr4d 2508 . 2
883, 87eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   ce 13797   csin 13799   ccos 13800
This theorem is referenced by:  tanadd  13902  sinsub  13903  addsin  13905  subsin  13906  sin2t  13912  demoivreALT  13936  sinppi  22882  sinhalfpip  22885  sinmulcos  31665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805  df-cos 13806
  Copyright terms: Public domain W3C validator