MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Unicode version

Theorem sinhval 13889
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 10203 . . . . . . . . 9
21oveq1i 6306 . . . . . . . 8
3 ax-icn 9572 . . . . . . . . 9
4 mulass 9601 . . . . . . . . 9
53, 3, 4mp3an12 1314 . . . . . . . 8
6 mulm1 10023 . . . . . . . 8
72, 5, 63eqtr3a 2522 . . . . . . 7
87fveq2d 5875 . . . . . 6
93, 3mulneg1i 10027 . . . . . . . . . 10
101negeqi 9836 . . . . . . . . . . 11
11 negneg1e1 10668 . . . . . . . . . . 11
1210, 11eqtri 2486 . . . . . . . . . 10
139, 12eqtri 2486 . . . . . . . . 9
1413oveq1i 6306 . . . . . . . 8
15 negicn 9844 . . . . . . . . 9
16 mulass 9601 . . . . . . . . 9
1715, 3, 16mp3an12 1314 . . . . . . . 8
18 mulid2 9615 . . . . . . . 8
1914, 17, 183eqtr3a 2522 . . . . . . 7
2019fveq2d 5875 . . . . . 6
218, 20oveq12d 6314 . . . . 5
2221oveq1d 6311 . . . 4
23 mulcl 9597 . . . . . 6
243, 23mpan 670 . . . . 5
25 sinval 13857 . . . . 5
2624, 25syl 16 . . . 4
27 irec 12267 . . . . . . . 8
2827negeqi 9836 . . . . . . 7
293negnegi 9912 . . . . . . 7
3028, 29eqtri 2486 . . . . . 6
3130oveq1i 6306 . . . . 5
32 ine0 10017 . . . . . . . 8
333, 32reccli 10299 . . . . . . 7
34 efcl 13818 . . . . . . . . 9
35 negcl 9843 . . . . . . . . . 10
36 efcl 13818 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9
3834, 37subcld 9954 . . . . . . . 8
3938halfcld 10808 . . . . . . 7
40 mulneg12 10020 . . . . . . 7
4133, 39, 40sylancr 663 . . . . . 6
42 2cnd 10633 . . . . . . . . . 10
43 2ne0 10653 . . . . . . . . . . 11
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10
4538, 42, 44divnegd 10358 . . . . . . . . 9
4634, 37negsubdi2d 9970 . . . . . . . . . 10
4746oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
4845, 47eqtrd 2498 . . . . . . . 8
4948oveq2d 6312 . . . . . . 7
5037, 34subcld 9954 . . . . . . . . 9
5150halfcld 10808 . . . . . . . 8
523a1i 11 . . . . . . . 8
5332a1i 11 . . . . . . . 8
5451, 52, 53divrec2d 10349 . . . . . . 7
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 10376 . . . . . . 7
5649, 54, 553eqtr2d 2504 . . . . . 6
5741, 56eqtrd 2498 . . . . 5
5831, 57syl5eqr 2512 . . . 4
5922, 26, 583eqtr4d 2508 . . 3
6059oveq1d 6311 . 2
6139, 52, 53divcan3d 10350 . 2
6260, 61eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610   ce 13797   csin 13799
This theorem is referenced by:  resinhcl  13891  tanhlt1  13895  sinhpcosh  33134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509  df-ef 13803  df-sin 13805
  Copyright terms: Public domain W3C validator