MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smo11 Unicode version

Theorem smo11 7054
Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smo11

Proof of Theorem smo11
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2
2 ffn 5736 . . 3
3 smodm2 7045 . . . . . . 7
4 ordelord 4905 . . . . . . . 8
54ex 434 . . . . . . 7
63, 5syl 16 . . . . . 6
7 ordelord 4905 . . . . . . . 8
87ex 434 . . . . . . 7
93, 8syl 16 . . . . . 6
106, 9anim12d 563 . . . . 5
11 ordtri3or 4915 . . . . . . 7
12 simp1rr 1062 . . . . . . . . . . 11
13 smoel2 7053 . . . . . . . . . . . . . 14
1413ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
16153ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
17 simp2 997 . . . . . . . . . . 11
18 simp3 998 . . . . . . . . . . 11
19 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120raleqbi1dv 3062 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
23 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . 14
2622, 25syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13
27263imp 1190 . . . . . . . . . . . 12
28 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
2928biimpac 486 . . . . . . . . . . . 12
3027, 29sylan 471 . . . . . . . . . . 11
3112, 16, 17, 18, 30syl31anc 1231 . . . . . . . . . 10
32 smofvon2 7046 . . . . . . . . . . . . 13
33 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . 13
34 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . . 13
3532, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . 12
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
37363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
3831, 37pm2.21dd 174 . . . . . . . . 9
39383exp 1195 . . . . . . . 8
40 ax-1 6 . . . . . . . . 9
4140a1i 11 . . . . . . . 8
42 simp1rl 1061 . . . . . . . . . . 11
43153ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
44 simp2 997 . . . . . . . . . . 11
45 simp3 998 . . . . . . . . . . 11
46 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847raleqbi1dv 3062 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
50 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . 14
5349, 52syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13
54533imp 1190 . . . . . . . . . . . 12
55 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . 13
5655biimpac 486 . . . . . . . . . . . 12
5754, 56sylan 471 . . . . . . . . . . 11
5842, 43, 44, 45, 57syl31anc 1231 . . . . . . . . . 10
59363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
6058, 59pm2.21dd 174 . . . . . . . . 9
61603exp 1195 . . . . . . . 8
6239, 41, 613jaod 1292 . . . . . . 7
6311, 62syl5 32 . . . . . 6
6463ex 434 . . . . 5
6510, 64mpdd 40 . . . 4
6665ralrimivv 2877 . . 3
672, 66sylan 471 . 2
68 dff13 6166 . 2
691, 67, 68sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  Ordword 4882   con0 4883  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  Smowsmo 7035
This theorem is referenced by:  smoiso2  7059  alephf1ALT  8505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601  df-smo 7036
  Copyright terms: Public domain W3C validator