Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smobeth Unicode version

Theorem smobeth 8982
 Description: The beth function is strictly monotone. This function is not strictly the beth function, but rather bethA is the same as , since conventionally we start counting at the first infinite level, and ignore the finite levels. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
smobeth

Proof of Theorem smobeth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardf2 8345 . . . . . . 7
2 ffun 5738 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6
4 r1fnon 8206 . . . . . . 7
5 fnfun 5683 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6
7 funco 5631 . . . . . 6
83, 6, 7mp2an 672 . . . . 5
9 funfn 5622 . . . . 5
108, 9mpbi 208 . . . 4
11 rnco 5518 . . . . 5
12 resss 5302 . . . . . . 7
13 rnss 5236 . . . . . . 7
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6
15 frn 5742 . . . . . . 7
161, 15ax-mp 5 . . . . . 6
1714, 16sstri 3512 . . . . 5
1811, 17eqsstri 3533 . . . 4
19 df-f 5597 . . . 4
2010, 18, 19mpbir2an 920 . . 3
21 dmco 5520 . . . 4
2221feq2i 5729 . . 3
2320, 22mpbi 208 . 2
24 elpreima 6007 . . . . . . . . 9
254, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8
2625simplbi 460 . . . . . . 7
27 onelon 4908 . . . . . . 7
2826, 27sylan 471 . . . . . 6
2925simprbi 464 . . . . . . . 8
3029adantr 465 . . . . . . 7
31 r1ord2 8220 . . . . . . . . 9
3231imp 429 . . . . . . . 8
3326, 32sylan 471 . . . . . . 7
34 ssnum 8441 . . . . . . 7
3530, 33, 34syl2anc 661 . . . . . 6
36 elpreima 6007 . . . . . . 7
374, 36ax-mp 5 . . . . . 6
3828, 35, 37sylanbrc 664 . . . . 5
3938rgen2 2882 . . . 4
40 dftr5 4548 . . . 4
4139, 40mpbir 209 . . 3
42 cnvimass 5362 . . . . 5
43 dffn2 5737 . . . . . . 7
444, 43mpbi 208 . . . . . 6
4544fdmi 5741 . . . . 5
4642, 45sseqtri 3535 . . . 4
47 epweon 6619 . . . 4
48 wess 4871 . . . 4
4946, 47, 48mp2 9 . . 3
50 df-ord 4886 . . 3
5141, 49, 50mpbir2an 920 . 2
52 r1sdom 8213 . . . . . . 7
5326, 52sylan 471 . . . . . 6
54 cardsdom2 8390 . . . . . . 7
5535, 30, 54syl2anc 661 . . . . . 6
5653, 55mpbird 232 . . . . 5
57 fvco2 5948 . . . . . 6
584, 28, 57sylancr 663 . . . . 5
5926adantr 465 . . . . . 6
60 fvco2 5948 . . . . . 6
614, 59, 60sylancr 663 . . . . 5
6256, 58, 613eltr4d 2560 . . . 4
6362ex 434 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Trwtr 4545   cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  Smo`wsmo 7035   cen 7533   csdm 7535   cr1 8201   ccrd 8337 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-r1 8203  df-card 8341