Theorem smogt 7057

Description: A strictly monotone ordinal function is greater than or equal to its argument. Exercise 1 in [TakeutiZaring] p. 50. (Contributed by Andrew Salmon, 23-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smogt

Proof of Theorem smogt

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6
2		fveq2 5871	. . . . . 6
3	1, 2	sseq12d 3532	. . . . 5
4	3	imbi2d 316	. . . 4
5		smodm2 7045	. . . . . . . . . 10
6	5	3adant3 1016	. . . . . . . . 9
7		simp3 998	. . . . . . . . 9
8		ordelord 4905	. . . . . . . . 9
9	6, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . . . 8
10		vex 3112	. . . . . . . . 9
11	10	elon 4892	. . . . . . . 8
12	9, 11	sylibr 212	. . . . . . 7
13		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
14	13	3anbi3d 1305	. . . . . . . . 9
15		id 22	. . . . . . . . . 10
16		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
17	15, 16	sseq12d 3532	. . . . . . . . 9
18	14, 17	imbi12d 320	. . . . . . . 8
19		simpl1 999	. . . . . . . . . . . . 13
20		simpl2 1000	. . . . . . . . . . . . 13
21		ordtr1 4926	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	21	expcomd 438	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	6, 7, 22	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
25		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . 13
26	19, 20, 24, 25	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12
27	26	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . 11
28	5	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29		simp31 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
30	28, 29, 8	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
31		simp32 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32		ordelord 4905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	30, 31, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34		smofvon2 7046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
35	34	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		simp33 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39		smoel2 7053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
40	39	3adantr3 1157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41	40	3impa 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42		ordtr2 4927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43	42	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44	33, 37, 38, 41, 43	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	44	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46	45	3expd 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	46	3impia 1193	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
49	48	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . 12
50		dfss3 3493	. . . . . . . . . . . 12
51	49, 50	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . 11
52	27, 51	syld 44	. . . . . . . . . 10
53	52	com12 31	. . . . . . . . 9
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8
55	18, 54	tfis2 6691	. . . . . . 7
56	12, 55	mpcom 36	. . . . . 6
57	56	3expia 1198	. . . . 5
58	57	com12 31	. . . 4
59	4, 58	vtoclga 3173	. . 3
60	59	com12 31	. 2
61	60	3impia 1193	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  Ordword 4882  con0 4883  Fnwfn 5588  `cfv 5593  Smowsmo 7035

This theorem is referenced by:  smorndom  7058  oismo  7986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-smo 7036