MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoord Unicode version

Theorem smoord 7055
Description: A strictly monotone ordinal function preserves strict ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoord

Proof of Theorem smoord
StepHypRef Expression
1 smodm2 7045 . . . 4
21adantr 465 . . 3
3 simprl 756 . . 3
4 ordelord 4905 . . 3
52, 3, 4syl2anc 661 . 2
6 simprr 757 . . 3
7 ordelord 4905 . . 3
82, 6, 7syl2anc 661 . 2
9 ordtri3or 4915 . . 3
10 simp3 998 . . . . . 6
11 smoel2 7053 . . . . . . . . 9
1211expr 615 . . . . . . . 8
1312adantrl 715 . . . . . . 7
14133impia 1193 . . . . . 6
1510, 142thd 240 . . . . 5
16153expia 1198 . . . 4
17 ordirr 4901 . . . . . . . . 9
185, 17syl 16 . . . . . . . 8
19183adant3 1016 . . . . . . 7
20 simp3 998 . . . . . . 7
2119, 20neleqtrd 2569 . . . . . 6
22 smofvon2 7046 . . . . . . . . . 10
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
24 eloni 4893 . . . . . . . . 9
25 ordirr 4901 . . . . . . . . 9
2623, 24, 253syl 20 . . . . . . . 8
27263adant3 1016 . . . . . . 7
2820fveq2d 5875 . . . . . . 7
2927, 28neleqtrd 2569 . . . . . 6
3021, 292falsed 351 . . . . 5
31303expia 1198 . . . 4
3283adant3 1016 . . . . . . . 8
33 ordn2lp 4903 . . . . . . . 8
3432, 33syl 16 . . . . . . 7
35 pm3.2 447 . . . . . . . 8
36353ad2ant3 1019 . . . . . . 7
3734, 36mtod 177 . . . . . 6
3823, 24syl 16 . . . . . . . . 9
39383adant3 1016 . . . . . . . 8
40 ordn2lp 4903 . . . . . . . 8
4139, 40syl 16 . . . . . . 7
42 smoel2 7053 . . . . . . . . . 10
4342adantrlr 722 . . . . . . . . 9
44433impb 1192 . . . . . . . 8
45 pm3.21 448 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
4741, 46mtod 177 . . . . . 6
4837, 472falsed 351 . . . . 5
49483expia 1198 . . . 4
5016, 31, 493jaod 1292 . . 3
519, 50syl5 32 . 2
525, 8, 51mp2and 679 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  Ordword 4882   con0 4883  Fnwfn 5588  `cfv 5593  Smowsmo 7035
This theorem is referenced by:  smoword  7056  smoiso2  7059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-smo 7036
  Copyright terms: Public domain W3C validator