Theorem smores2 7044

Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smores2

Proof of Theorem smores2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 7037	. . . . . . 7
2	1	simp1bi 1011	. . . . . 6
3		ffun 5738	. . . . . 6
4	2, 3	syl 16	. . . . 5
5		funres 5632	. . . . . 6
6		funfn 5622	. . . . . 6
7	5, 6	sylib 196	. . . . 5
8	4, 7	syl 16	. . . 4
9		df-ima 5017	. . . . . 6
10		imassrn 5353	. . . . . 6
11	9, 10	eqsstr3i 3534	. . . . 5
12		frn 5742	. . . . . 6
13	2, 12	syl 16	. . . . 5
14	11, 13	syl5ss 3514	. . . 4
15		df-f 5597	. . . 4
16	8, 14, 15	sylanbrc 664	. . 3
17	16	adantr 465	. 2
18		smodm 7041	. . 3
19		ordin 4913	. . . . 5
20		dmres 5299	. . . . . 6
21		ordeq 4890	. . . . . 6
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5
23	19, 22	sylibr 212	. . . 4
24	23	ancoms 453	. . 3
25	18, 24	sylan 471	. 2
26		resss 5302	. . . . . 6
27		dmss 5207	. . . . . 6
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . 5
29	1	simp3bi 1013	. . . . 5
30		ssralv 3563	. . . . 5
31	28, 29, 30	mpsyl 63	. . . 4
32	31	adantr 465	. . 3
33		ordtr1 4926	. . . . . . . . . . 11
34	25, 33	syl 16	. . . . . . . . . 10
35		inss1 3717	. . . . . . . . . . . 12
36	20, 35	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . 11
37	36	sseli 3499	. . . . . . . . . 10
38	34, 37	syl6 33	. . . . . . . . 9
39	38	expcomd 438	. . . . . . . 8
40	39	imp31 432	. . . . . . 7
41		fvres 5885	. . . . . . 7
42	40, 41	syl 16	. . . . . 6
43	36	sseli 3499	. . . . . . . 8
44		fvres 5885	. . . . . . . 8
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7
46	45	ad2antlr 726	. . . . . 6
47	42, 46	eleq12d 2539	. . . . 5
48	47	ralbidva 2893	. . . 4
49	48	ralbidva 2893	. . 3
50	32, 49	mpbird 232	. 2
51		dfsmo2 7037	. 2
52	17, 25, 50, 51	syl3anbrc 1180	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475  Ordword 4882  con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  Smowsmo 7035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-smo 7036