MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smorndom Unicode version

Theorem smorndom 7058
Description: The range of a strictly monotone ordinal function dominates the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smorndom

Proof of Theorem smorndom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . . . 7
2 ffn 5736 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 simpl2 1000 . . . . . 6
5 smodm2 7045 . . . . . 6
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . 5
7 ordelord 4905 . . . . 5
86, 7sylancom 667 . . . 4
9 simpl3 1001 . . . 4
10 simpr 461 . . . . 5
11 smogt 7057 . . . . 5
123, 4, 10, 11syl3anc 1228 . . . 4
13 ffvelrn 6029 . . . . 5
14133ad2antl1 1158 . . . 4
15 ordtr2 4927 . . . . 5
1615imp 429 . . . 4
178, 9, 12, 14, 16syl22anc 1229 . . 3
1817ex 434 . 2
1918ssrdv 3509 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  C_wss 3475  Ordword 4882  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  Smowsmo 7035
This theorem is referenced by:  cofsmo  8670  hsmexlem1  8827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-smo 7036
  Copyright terms: Public domain W3C validator