MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smu01lem Unicode version

Theorem smu01lem 14135
Description: Lemma for smu01 14136 and smu02 14137. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smu01lem.1
smu01lem.2
smu01lem.3
Assertion
Ref Expression
smu01lem
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem smu01lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smu01lem.1 . . . . . 6
2 smu01lem.2 . . . . . 6
3 smucl 14134 . . . . . 6
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . 5
54sseld 3502 . . . 4
6 noel 3788 . . . . . . 7
7 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . 10
8 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
98eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
109imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
11 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
1211eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
1312imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
1514eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
1615imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
17 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
181, 2, 17smup0 14129 . . . . . . . . . . 11
19 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
201adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2320, 21, 17, 22smupp1 14130 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 smu01lem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2625ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 rabeq0 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 0ss 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 sadid1 14118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3230, 31mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3329, 32eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15
3423, 33eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . 14
3519, 34syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13
3635expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
3736a2d 26 . . . . . . . . . . 11
3810, 13, 16, 16, 18, 37nn0ind 10984 . . . . . . . . . 10
397, 38syl 16 . . . . . . . . 9
4039impcom 430 . . . . . . . 8
4140eleq2d 2527 . . . . . . 7
426, 41mtbiri 303 . . . . . 6
4320, 21, 17, 22smuval 14131 . . . . . 6
4442, 43mtbird 301 . . . . 5
4544ex 434 . . . 4
465, 45syld 44 . . 3
4746pm2.01d 169 . 2
4847eq0rdv 3820 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828   cn0 10820  seqcseq 12107   csad 14070   csmu 14071
This theorem is referenced by:  smu01  14136  smu02  14137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-sad 14101  df-smu 14126
  Copyright terms: Public domain W3C validator