MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smueqlem Unicode version

Theorem smueqlem 14140
Description: Any element of a sequence multiplication only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smueq.a
smueq.b
smueq.n
smueq.p
smueq.q
Assertion
Ref Expression
smueqlem
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   ,N, ,   ,

Proof of Theorem smueqlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smueq.a . . . . . . . 8
21adantr 465 . . . . . . 7
3 smueq.b . . . . . . . 8
43adantr 465 . . . . . . 7
5 smueq.p . . . . . . 7
6 elfzouz 11833 . . . . . . . . 9
76adantl 466 . . . . . . . 8
8 nn0uz 11144 . . . . . . . 8
97, 8syl6eleqr 2556 . . . . . . 7
109nn0zd 10992 . . . . . . . . 9
1110peano2zd 10997 . . . . . . . 8
12 smueq.n . . . . . . . . . 10
1312adantr 465 . . . . . . . . 9
1413nn0zd 10992 . . . . . . . 8
15 elfzolt2 11837 . . . . . . . . . 10
1615adantl 466 . . . . . . . . 9
17 nn0ltp1le 10946 . . . . . . . . . 10
189, 13, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9
1916, 18mpbid 210 . . . . . . . 8
20 eluz2 11116 . . . . . . . 8
2111, 14, 19, 20syl3anbrc 1180 . . . . . . 7
222, 4, 5, 9, 21smuval2 14132 . . . . . 6
2312, 8syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11
24 eluzfz2b 11724 . . . . . . . . . . 11
2523, 24sylib 196 . . . . . . . . . 10
26 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
2726ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
28 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
2928ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
3027, 29eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12
3130imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
32 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
3332ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
34 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
3534ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
3633, 35eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12
3736imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
38 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
3938ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
40 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
4140ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
4239, 41eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12
4342imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
44 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
4544ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
46 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
4746ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 47eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12
4948imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
501, 3, 5smup0 14129 . . . . . . . . . . . . . 14
51 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251, 3syl5ss 3514 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 smueq.q . . . . . . . . . . . . . . 15
541, 52, 53smup0 14129 . . . . . . . . . . . . . 14
5550, 54eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
5655ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . 12
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11
58 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . . 14
601adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
613adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62 elfzonn0 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6460, 61, 5, 63smupp1 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . . . . 16
661, 3, 5smupf 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6866, 62, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7212adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7369, 71, 72sadeq 14122 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7465, 73eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
7552adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7660, 75, 53, 63smupp1 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . . . . 16
781, 52, 53smupf 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8078, 62, 79syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8481, 83, 72sadeq 14122 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8685sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8761adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8887sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
89 elfzo0 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9089simp2bi 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
92 elfzonn0 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9493nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9563adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9695nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9794, 96resubcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9891nnred 10576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9995nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10094, 96subge02d 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10199, 100mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102 elfzolt2 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10497, 94, 98, 101, 103lelttrd 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10591, 104jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
106 elfzo0 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
107 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
108106, 107bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
109108baib 903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
110105, 109syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11188, 110syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
112111pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
114 elin 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
115113, 114bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
116112, 115syl6rbb 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
117116anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11886, 117sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119118rabbidva 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120 inrab2 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121 inrab2 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122119, 120, 1213eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123122oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124123ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12577, 84, 1243eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15
12674, 125eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . 14
12759, 126syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13
128127expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
129128a2d 26 . . . . . . . . . . 11
13031, 37, 43, 49, 57, 129fzind2 11924 . . . . . . . . . 10
13125, 130mpcom 36 . . . . . . . . 9
132131adantr 465 . . . . . . . 8
133132eleq2d 2527 . . . . . . 7
134 elin 3686 . . . . . . . . 9
135134rbaib 906 . . . . . . . 8
136135adantl 466 . . . . . . 7
137 elin 3686 . . . . . . . . 9
138137rbaib 906 . . . . . . . 8
139138adantl 466 . . . . . . 7
140133, 136, 1393bitr3d 283 . . . . . 6
14152adantr 465 . . . . . . . 8
1422, 141, 53, 13smupval 14138 . . . . . . 7
143142eleq2d 2527 . . . . . 6
14422, 140, 1433bitrd 279 . . . . 5
145144ex 434 . . . 4
146145pm5.32rd 640 . . 3
147 elin 3686 . . 3
148 elin 3686 . . 3
149146, 147, 1483bitr4g 288 . 2
150149eqrdv 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824  seqcseq 12107   csad 14070   csmu 14071
This theorem is referenced by:  smueq  14141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101  df-smu 14126
  Copyright terms: Public domain W3C validator