Theorem smufval 14127

Description: Define the addition of two bit sequences, using df-had 1447 and df-cad 1448 bit operations. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a
smuval.b
smuval.p

Assertion

Ref	Expression
smufval

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   P,

Proof of Theorem smufval

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . 3
2		nn0ex 10826	. . . 4
3	2	elpw2 4616	. . 3
4	1, 3	sylibr 212	. 2
5		smuval.b	. . 3
6	2	elpw2 4616	. . 3
7	5, 6	sylibr 212	. 2
8		simp1l 1020	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . 12
10		simp1r 1021	. . . . . . . . . . . . 13
11	10	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . 12
12	9, 11	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11
13	12	rabbidv 3101	. . . . . . . . . 10
14	13	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
15	14	mpt2eq3dva 6361	. . . . . . . 8
16	15	seqeq2d 12114	. . . . . . 7
17		smuval.p	. . . . . . 7
18	16, 17	syl6eqr 2516	. . . . . 6
19	18	fveq1d 5873	. . . . 5
20	19	eleq2d 2527	. . . 4
21	20	rabbidv 3101	. . 3
22		df-smu 14126	. . 3
23	2	rabex 4603	. . 3
24	21, 22, 23	ovmpt2a 6433	. 2
25	4, 7, 24	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmin 9828  cn0 10820  seqcseq 12107  csad 14070  csmu 14071

This theorem is referenced by:  smuval  14131  smupvallem  14133  smucl  14134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-nn 10562  df-n0 10821  df-seq 12108  df-smu 14126