Theorem smumullem 14142

Description: Lemma for smumul 14143. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smumullem.a
smumullem.b
smumullem.n

Assertion

Ref	Expression
smumullem

Proof of Theorem smumullem

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smumullem.n	. 2
2		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
3		fzo0 11849	. . . . . . . . . 10
4	2, 3	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9
5	4	ineq2d 3699	. . . . . . . 8
6		in0 3811	. . . . . . . 8
7	5, 6	syl6eq 2514	. . . . . . 7
8	7	oveq1d 6311	. . . . . 6
9		bitsss 14076	. . . . . . 7
10		smu02 14137	. . . . . . 7
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6
12	8, 11	syl6eq 2514	. . . . 5
13		oveq2 6304	. . . . . . . . 9
14		2cn 10631	. . . . . . . . . 10
15		exp0 12170	. . . . . . . . . 10
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
17	13, 16	syl6eq 2514	. . . . . . . 8
18	17	oveq2d 6312	. . . . . . 7
19	18	oveq1d 6311	. . . . . 6
20	19	fveq2d 5875	. . . . 5
21	12, 20	eqeq12d 2479	. . . 4
22	21	imbi2d 316	. . 3
23		oveq2 6304	. . . . . . 7
24	23	ineq2d 3699	. . . . . 6
25	24	oveq1d 6311	. . . . 5
26		oveq2 6304	. . . . . . . 8
27	26	oveq2d 6312	. . . . . . 7
28	27	oveq1d 6311	. . . . . 6
29	28	fveq2d 5875	. . . . 5
30	25, 29	eqeq12d 2479	. . . 4
31	30	imbi2d 316	. . 3
32		oveq2 6304	. . . . . . 7
33	32	ineq2d 3699	. . . . . 6
34	33	oveq1d 6311	. . . . 5
35		oveq2 6304	. . . . . . . 8
36	35	oveq2d 6312	. . . . . . 7
37	36	oveq1d 6311	. . . . . 6
38	37	fveq2d 5875	. . . . 5
39	34, 38	eqeq12d 2479	. . . 4
40	39	imbi2d 316	. . 3
41		oveq2 6304	. . . . . . 7
42	41	ineq2d 3699	. . . . . 6
43	42	oveq1d 6311	. . . . 5
44		oveq2 6304	. . . . . . . 8
45	44	oveq2d 6312	. . . . . . 7
46	45	oveq1d 6311	. . . . . 6
47	46	fveq2d 5875	. . . . 5
48	43, 47	eqeq12d 2479	. . . 4
49	48	imbi2d 316	. . 3
50		smumullem.a	. . . . . . . 8
51		zmod10 12012	. . . . . . . 8
52	50, 51	syl 16	. . . . . . 7
53	52	oveq1d 6311	. . . . . 6
54		smumullem.b	. . . . . . . 8
55	54	zcnd 10995	. . . . . . 7
56	55	mul02d 9799	. . . . . 6
57	53, 56	eqtrd 2498	. . . . 5
58	57	fveq2d 5875	. . . 4
59		0bits 14089	. . . 4
60	58, 59	syl6req 2515	. . 3
61		oveq1 6303	. . . . . 6
62		bitsss 14076	. . . . . . . . 9
63	62	a1i 11	. . . . . . . 8
64	9	a1i 11	. . . . . . . 8
65		simpr 461	. . . . . . . 8
66	63, 64, 65	smup1 14139	. . . . . . 7
67		bitsinv1lem 14091	. . . . . . . . . . . 12
68	50, 67	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
69	68	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10
70	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
71		2nn 10718	. . . . . . . . . . . . . . 15
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
73	72, 65	nnexpcld 12331	. . . . . . . . . . . . 13
74	70, 73	zmodcld 12016	. . . . . . . . . . . 12
75	74	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . 11
76	73	nnnn0d 10877	. . . . . . . . . . . . 13
77		0nn0 10835	. . . . . . . . . . . . 13
78		ifcl 3983	. . . . . . . . . . . . 13
79	76, 77, 78	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12
80	79	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . . 11
81	55	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
82	75, 80, 81	adddird 9642	. . . . . . . . . 10
83	80, 81	mulcomd 9638	. . . . . . . . . . 11
84	83	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
85	69, 82, 84	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9
86	85	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
87	74	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
88	54	adantr 465	. . . . . . . . . 10
89	87, 88	zmulcld 11000	. . . . . . . . 9
90	79	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
91	88, 90	zmulcld 11000	. . . . . . . . 9
92		sadadd 14117	. . . . . . . . 9
93	89, 91, 92	syl2anc 661	. . . . . . . 8
94		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12
95	94	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
96	95	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
97		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12
98	97	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
99	98	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
100		bitsshft 14125	. . . . . . . . . . . 12
101	54, 100	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
102		ibar 504	. . . . . . . . . . . 12
103	102	rabbidv 3101	. . . . . . . . . . 11
104	101, 103	sylan9req 2519	. . . . . . . . . 10
105	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
106	105	mul01d 9800	. . . . . . . . . . . 12
107	106	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . 11
108		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
109	108	intnanrd 917	. . . . . . . . . . . . 13
110	109	ralrimivw 2872	. . . . . . . . . . . 12
111		rabeq0 3807	. . . . . . . . . . . 12
112	110, 111	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11
113	59, 107, 112	3eqtr4a 2524	. . . . . . . . . 10
114	96, 99, 104, 113	ifbothda 3976	. . . . . . . . 9
115	114	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
116	86, 93, 115	3eqtr2d 2504	. . . . . . 7
117	66, 116	eqeq12d 2479	. . . . . 6
118	61, 117	syl5ibr 221	. . . . 5
119	118	expcom 435	. . . 4
120	119	a2d 26	. . 3
121	22, 31, 40, 49, 60, 120	nn0ind 10984	. 2
122	1, 121	mpcom 36	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cfzo 11824  cmo 11996  cexp 12166  cbits 14069  csad 14070  csmu 14071

This theorem is referenced by:  smumul  14143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101  df-smu 14126