MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupvallem Unicode version

Theorem smupvallem 14133
Description: If only has elements less than , then all elements of the partial sum sequence past already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a
smuval.b
smuval.p
smuval.n
smupvallem.a
smupvallem.m
Assertion
Ref Expression
smupvallem
Distinct variable groups:   , , ,   ,N   ,   , , ,

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7
2 smuval.b . . . . . . 7
3 smuval.p . . . . . . 7
41, 2, 3smupf 14128 . . . . . 6
5 smuval.n . . . . . . 7
6 smupvallem.m . . . . . . 7
7 eluznn0 11180 . . . . . . 7
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6
94, 8ffvelrnd 6032 . . . . 5
109elpwid 4022 . . . 4
1110sseld 3502 . . 3
121, 2, 3smufval 14127 . . . . 5
13 ssrab2 3584 . . . . 5
1412, 13syl6eqss 3553 . . . 4
1514sseld 3502 . . 3
161ad2antrr 725 . . . . . . 7
172ad2antrr 725 . . . . . . 7
18 simplr 755 . . . . . . 7
196adantr 465 . . . . . . . 8
20 uztrn 11126 . . . . . . . 8
2119, 20sylan 471 . . . . . . 7
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 14132 . . . . . 6
2322bicomd 201 . . . . 5
246ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
25 simpll 753 . . . . . . . . 9
26 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
2726eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
2827imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
29 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3029eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
3130imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
32 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3332eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
3433imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
35 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3635eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
3736imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
38 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10
401adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
412adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42 eluznn0 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
435, 42sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4440, 41, 3, 43smupp1 14130 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 eluzle 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
475nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4943nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5048, 49lenltd 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5146, 50mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5453sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55 elfzolt2 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5654, 55syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5851, 57mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958ralrimivw 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 rabeq0 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6159, 60sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
634adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463, 43ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 sadid1 14118 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6844, 62, 673eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . 14
6968eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
7069biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12
7170expcom 435 . . . . . . . . . . 11
7271a2d 26 . . . . . . . . . 10
7328, 31, 34, 37, 39, 72uzind4 11168 . . . . . . . . 9
7424, 25, 73sylc 60 . . . . . . . 8
75 simpr 461 . . . . . . . . 9
7628, 31, 34, 34, 39, 72uzind4 11168 . . . . . . . . 9
7775, 25, 76sylc 60 . . . . . . . 8
7874, 77eqtr4d 2501 . . . . . . 7
7978eleq2d 2527 . . . . . 6
801ad2antrr 725 . . . . . . 7
812ad2antrr 725 . . . . . . 7
82 simplr 755 . . . . . . 7
8380, 81, 3, 82smuval 14131 . . . . . 6
8479, 83bitr4d 256 . . . . 5
85 simpr 461 . . . . . . . 8
8685nn0zd 10992 . . . . . . 7
8786peano2zd 10997 . . . . . 6
885nn0zd 10992 . . . . . . 7
8988adantr 465 . . . . . 6
90 uztric 11131 . . . . . 6
9187, 89, 90syl2anc 661 . . . . 5
9223, 84, 91mpjaodan 786 . . . 4
9392ex 434 . . 3
9411, 15, 93pm5.21ndd 354 . 2
9594eqrdv 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfzo 11824  seqcseq 12107   csad 14070   csmu 14071
This theorem is referenced by:  smupval  14138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101  df-smu 14126
  Copyright terms: Public domain W3C validator