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Theorem smuval2 14132
Description: The partial sum sequence stabilizes at after the -th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a
smuval.b
smuval.p
smuval.n
smuval2.m
Assertion
Ref Expression
smuval2
Distinct variable groups:   , , ,   ,N   ,   , , ,

Proof of Theorem smuval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval2.m . 2
2 fveq2 5871 . . . . . 6
32eleq2d 2527 . . . . 5
43bibi2d 318 . . . 4
54imbi2d 316 . . 3
6 fveq2 5871 . . . . . 6
76eleq2d 2527 . . . . 5
87bibi2d 318 . . . 4
98imbi2d 316 . . 3
10 fveq2 5871 . . . . . 6
1110eleq2d 2527 . . . . 5
1211bibi2d 318 . . . 4
1312imbi2d 316 . . 3
14 fveq2 5871 . . . . . 6
1514eleq2d 2527 . . . . 5
1615bibi2d 318 . . . 4
1716imbi2d 316 . . 3
18 smuval.a . . . . 5
19 smuval.b . . . . 5
20 smuval.p . . . . 5
21 smuval.n . . . . 5
2218, 19, 20, 21smuval 14131 . . . 4
2322a1i 11 . . 3
2418adantr 465 . . . . . . . . . 10
2519adantr 465 . . . . . . . . . 10
26 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . . 12
2721, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11
28 eluznn0 11180 . . . . . . . . . . 11
2927, 28sylan 471 . . . . . . . . . 10
3024, 25, 20, 29smupp1 14130 . . . . . . . . 9
3130eleq2d 2527 . . . . . . . 8
3224, 25, 20smupf 14128 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332, 29ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . 14
3433elpwid 4022 . . . . . . . . . . . . 13
35 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . 14
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3727adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
3834, 36, 37sadeq 14122 . . . . . . . . . . . 12
39 inrab2 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4240, 41sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4342nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4421adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4645nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4846, 47readdcld 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4929adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5049nn0red 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
51 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5251, 41sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53 elfzolt2 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 eluzle 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5743, 48, 50, 54, 56ltletrd 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5843, 50ltnled 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5957, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6025adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6160sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
62 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6361, 62syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6443, 50subge0d 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6563, 64sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6759, 66mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6867ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69 rabeq0 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7068, 69sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7139, 70syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473, 34syl5ss 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 sadid1 14118 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
7772, 76eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
7877ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
79 inass 3707 . . . . . . . . . . . . . 14
80 inidm 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180ineq2i 3696 . . . . . . . . . . . . . 14
8279, 81eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13
8378, 82syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
8438, 83eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
8584eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
86 elin 3686 . . . . . . . . . 10
87 elin 3686 . . . . . . . . . 10
8885, 86, 873bitr3g 287 . . . . . . . . 9
89 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . . 13
9044, 89syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12
91 eluzfz2 11723 . . . . . . . . . . . 12
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . 11
9344nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . 12
94 fzval3 11885 . . . . . . . . . . . 12
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . 11
9692, 95eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10
9796biantrud 507 . . . . . . . . 9
9896biantrud 507 . . . . . . . . 9
9988, 97, 983bitr4d 285 . . . . . . . 8
10031, 99bitrd 253 . . . . . . 7
101100bibi2d 318 . . . . . 6
102101biimprd 223 . . . . 5
103102expcom 435 . . . 4
104103a2d 26 . . 3
1055, 9, 13, 17, 23, 104uzind4 11168 . 2
1061, 105mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824  seqcseq 12107   csad 14070   csmu 14071
This theorem is referenced by:  smupvallem  14133  smueqlem  14140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509  df-dvds 13987  df-bits 14072  df-sad 14101  df-smu 14126
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